Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kì trên (O), C không trùng với A
Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kì trên (O), C không trùng với A và B. Tiếp tuyến tại C của (O, R) cắt tiếp tuyến tại A và B của (O, R) lần lượt tại P và Q. Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC.
a) CMR: CMON là hình chữ nhật và \(AP.BQ=M{{N}^{2}}.\)
b) CMR: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ.
c) CMR: PMNQ là tứ giác nội tiếp. Tìm vị trí của C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất.
Quảng cáo
a) Do PA và PC là 2 tiếp tuyến của (O) nên PA = PC.
Ta có : PA = PC và OA = OC nên PO là trung trực của AC.
Từ đó suy ra PO vuông AC nên CM vuông góc với OM.
Chứng minh hoàn toàn tương tự : QO là trung trực của BC nên QO vuông góc BC. Từ đó suy ra CN vuông ON.
Mà : AB là đường kính nên: \(\widehat{ACB}={{90}^{0}}.\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó AC vuông góc BC, do vậy CM vuông góc CN.
Từ đó suy ra CMON là hình chữ nhật \(\Rightarrow CMON\) là tứ giác nội tiếp.
\(CMON\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow OC=MN.\) (hai đường chéo của hình chữ nhật)
Ta có OP vuông AC, QO vuông BC, AC vuông BC nên OP vuông OQ.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác POQ ta có :
\(C{{O}^{2}}=PC.QC\Rightarrow M{{N}^{2}}=PA.QB.\ \ \ \left( dpcm \right)\)
b) Gọi I là trung điểm của \(PQ\Rightarrow I\) là tâm đườg tròn ngoại tiếp tam giác \(POQ\) vì \(\Delta POQ\) vuông tại \(O\ \ \left( cmt \right).\)
Ta có: PA vuông góc AB, QB vuông góc AB
Suy ra PA // QB.
\(\Rightarrow APQB\) là hình thang.
Có I là trung điểm PQ và O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình APQB.
Từ đó suy ra: \(\left\{ \begin{align} & IO//PA \\ & IO=\frac{PA+QB}{2}=\frac{PC+QO}{2}=\frac{PQ}{2}=IP=IQ. \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow OI\bot AB=\left\{ O \right\}.\)
\(\Rightarrow AB\) là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính PQ.
c) Ta có ngay:
\(\begin{align} & \widehat{MPQ}+\widehat{MNQ}=\widehat{OPC}+\widehat{MNC}+\widehat{CNQ}=\widehat{OPC}+\widehat{MOC}+\widehat{CNQ} \\ & =(\widehat{OPC}+\widehat{POC})+\widehat{CNQ}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}. \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow MNPQ\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\()
Ta có:
Áp dụng định lý sin trong tam giác MNQ ta được:
\(\begin{align} & \frac{MQ}{\sin \widehat{MNQ}}=2R=\frac{MQ}{\sin \widehat{MNO}}=\frac{MQ}{\frac{OM}{MN}}=\frac{1}{2}AB.\frac{MQ}{OM} \\ & =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{\sin \widehat{OQM}} \\ \end{align}\)
Từ đây dễ dàng có để 2R min thì C là điểm chính giữa của cung AB
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
