Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết \(AB=BC=a\) \(AD=2a\) và SA

Câu hỏi số 269792:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết \(AB=BC=a\) \(AD=2a\) và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA=a\sqrt{2}\) Xác định số đo của góc \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD).

A. \(\varphi ={{60}^{0}}\)

B. \(\varphi ={{45}^{0}}\)

C. \(\varphi ={{30}^{0}}\)

D. \(\varphi ={{90}^{0}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:269792

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của AD ta có ABCE là hình vuông \(\Rightarrow CE\bot AD\) và \(CE=a\)

\(\left\{ \begin{align} & CE\bot AD \\ & CE\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow CE\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CE\bot SD\)

Kẻ \(EH\bot SD\,\,\left( H\in SD \right)\) ta có \(\left\{ \begin{align} & SD\bot EH \\ & SD\bot CE \\\end{align} \right.\Rightarrow SD\bot \left( HCE \right)\Rightarrow SD\bot CH\)

\(\left\{ \begin{align} & \left( SAD \right)\cap \left( SCD \right)=SD \\ & \left( SAD \right)\supset EH\bot CD \\ & \left( SCD \right)\supset CH\bot CD \\\end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAD \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( EH;CH \right)}\)

Ta có: \(\Delta DEH\sim \Delta DSA\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{HE}{SA}=\frac{DE}{SD}\Rightarrow HE=\frac{a\sqrt{2}.a}{\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác SCD có \(CE=AE=ED=a\Rightarrow CE=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại C.

Có \(\left\{ \begin{align} & CD\bot AC \\ & CD\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot SC\Rightarrow \Delta SCD\) vuông ở C.

\(\Rightarrow CH=\frac{SC.CD}{\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}.a\sqrt{2}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác HCE: \(\cos \angle CHE=\frac{E{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}-C{{E}^{2}}}{2EH.CH}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle CHE={{60}^{0}}\)

Vậy \(\widehat{\left( \left( SAD \right);\left( SCD \right) \right)}={{60}^{0}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.