Cho các số phức \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=3;\,\,\left| {{z}_{2}}

Câu hỏi số 269799:

Vận dụng cao

Cho các số phức \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=3;\,\,\left| {{z}_{2}} \right|=4\) và chúng được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các điểm M, N. Biết góc giữa vector \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{ON}\) bằng 60⁰. Tìm môđun của số phức \(z=\frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}\) ?

A. \(\left| z \right|=\sqrt{3}\)

B. \(\left| z \right|=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

C. \(\left| z \right|=\frac{\sqrt{481}}{13}\)

D. \(\left| z \right|=4\sqrt{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:269799

Phương pháp giải

\(\left| z \right|=\frac{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} \right|}{\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|}=\frac{2\left| \overrightarrow{OI} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|}=\frac{2OI}{MN}\)(với I là trung điểm của MN).

Sử dụng các công thức của định lí cosin trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến.

Giải chi tiết

Ta có \(OM=3;\,\,ON=4\) ; \(\widehat{\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right)}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{\left( OM;ON \right)}={{60}^{0}}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OMN có \(MN=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-2OM.ON.\cos \left( OM;ON \right)}=\sqrt{13}\)

OI là đường trung tuyến của tam giác OMN \(\Rightarrow OI=\sqrt{\frac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{37}}{2}\)

Vậy \(\left| z \right|=\frac{2.\frac{\sqrt{37}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{481}}{13}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.