Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( 1;5;0 \right);\,\,B\left( 3;3;6 \right)\) và đường

Câu hỏi số 269798:

Vận dụng cao

Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( 1;5;0 \right);\,\,B\left( 3;3;6 \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right..\) Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) với a, b là các số nguyên. Khi đó:

A. \(a+b=40\)

B. \(a+b=38\)

C. \(\left| a-b \right|=10\)

D. \(\left| a-b \right|=12\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:269798

Phương pháp giải

+) Kiểm tra AB và d chéo nhau.

+) \({{C}_{MAB\,\min }}\Leftrightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow MA=MB\)

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;6 \right)\); \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-1;2 \right)\) d đi qua điểm \(M\left( -1;1;0 \right)\)

\(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right].\overrightarrow{AM}\ne 0\Rightarrow AB\) và d chéo nhau.

Ta có \({{C}_{MAB}}=MA+MB+AB\) Do AB không đổi nên \({{C}_{MAB\,\,\min }}\Leftrightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\)

Do AB và d chéo nhau nên \(MA+MB\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{MA.MB}\Leftrightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow MA=MB\)

\(\Rightarrow M\in \) mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm \(I\left( 2;4;3 \right)\) của AB và nhận \(\left( 1;-1;3 \right)\) là 1 VTPT.

\(\Rightarrow M\in \left( P \right):\,\,x-y+3z-7=0\)

\(\Rightarrow M\in \left( d \right)\Rightarrow M\left( -1+2t;1-t;2t \right)\)

Thay vào mặt phẳng (P) \(\Rightarrow -1+2t-1+t+6t-7=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M\left( 1;0;2 \right)\Rightarrow MA=MB=\sqrt{29}\)

\(AB=2\sqrt{11}\Rightarrow {{C}_{\Delta MAB}}=2\sqrt{11}+2\sqrt{29}\Rightarrow {{p}_{\Delta MAB}}=\sqrt{11}+\sqrt{29}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=11 \\ & b=29 \\\end{align} \right.\Rightarrow a+b=40\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.