Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M

Câu hỏi số 270530:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng

A. \(\dfrac{{6\sqrt {13} }}{{65}}\)

B. \(\dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\)

C. \(\dfrac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)

D. \(\dfrac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270530

Phương pháp giải

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

Ta có AB // C’D’ \( \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (MC’D’) là đường thẳng đi qua M và song song với AB, C’D’.

Gọi d là đường giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Do \(M \in OI \Rightarrow MA = MB \Rightarrow \Delta MAB\) cân tại M, tương tự \(\Delta MC'D'\) cân tại M. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và C’D’ ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}ME \bot AB \Rightarrow ME \bot d\\MF \bot C'D' \Rightarrow MF \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {MAB} \right);\left( {MC'D'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {ME;MF} \right)}\)

Kẻ MK // A’I, ta có \(A'K = MI = \frac{1}{3}OI = \dfrac{1}{6}AA'\)

Gọi cạnh hình lập phương là 1 \( \Rightarrow A'K = \dfrac{1}{6} \Rightarrow AK = \dfrac{5}{6}\)

Do A’B’C’D’ là hình vuông cạnh 1 \( \Rightarrow KM = A'I = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} = \sqrt {\frac{{43}}{{36}}} \)

Xét tam giác vuông AME có \(ME = \sqrt {A{M^2} - A{E^2}} = \sqrt {\dfrac{{43}}{{36}} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt {34} }}{6}\)

Ta có \(IF = \dfrac{1}{2} \Rightarrow MF = \sqrt {M{I^2} + I{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\)

\(EF = AD' = \sqrt 2 \)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác EFM có:

\(\cos \widehat {EMF} = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}} = \dfrac{{\dfrac{{34}}{{36}} + \dfrac{{10}}{{36}} - 2}}{{2\dfrac{{\sqrt {34} }}{6}.\dfrac{{\sqrt {10} }}{6}}} = - \dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \widehat {\left( {ME;MF} \right)} = \dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}} = \cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right);\left( {MC'D'} \right)} \right)}\\ \Rightarrow \sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right);\left( {MC'D'} \right)} \right)} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}} = \dfrac{{6\sqrt {85} }}{{85}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.