Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), có ba đường

Câu hỏi số 272384:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), có ba đường cao là \(AD,BE,CF\) và trực tâm là \(H\). Gọi \(M\)là giao điểm của \(AO\) với \(BC\) và \(P,Q\)lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC\).

a) Chứng minh \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(DEF\)

b) Chứng minh \(HE.MQ=HF.MP\)

c) Chứng minh \(\frac{MB}{MC}.\frac{DB}{DC}={{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272384

Phương pháp giải

a) Sử dụng các tính chất: Tứ giác có 2 góc đối bù nhau thì nội tiếp đường tròn ; 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau

b) Sử dụng định lí Ta-lét

c) Sử dụng biểu thức đã chứng minh ở câu b , biến đổi để đưa về biểu thức cần chứng minh

Giải chi tiết

a)Xét tứ giác \(HDCE\) có: \(\left\{ \begin{align} & \angle HEC={{90}^{o}} \\ & \angle HDC={{90}^{o}} \\\end{align} \right.\Rightarrow \angle HEC+\angle HDC={{180}^{o}}\)

Suy ra tứ giác \(HDCE\) nội tiếp đường tròn \(\Rightarrow \angle HDE=\angle HCE\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\))

Chứng minh tương tự có \(\angle FBH=\angle FDH\)

Mà có \(\angle FBH=\angle HCE\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\))

\(\Rightarrow \angle FDH=\angle HDE\) , suy ra \(HD\) là phân giác \(\angle FDE\)

Chứng minh tương tự ta có : \(HE\) là tia phân giác \(\angle FED\) ; \(FH\) là phân giác \(\angle DFE\)

Suy ra H là giao của 3 đường phân giác trong \(\Delta FDE\) , suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta FDE\ \ \left( dpcm \right)\)

b) Kéo dài \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(G\)

Có\(\angle ACG={{90}^{o}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(BH//GC\) (do cùng vuông góc với \(\text{AC}\))

Chứng minh tương tự có \(HC//BG\)

\(\Rightarrow BHCG\) là hình bình hành (do có 2 cặp cạnh đối song song) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BH = GC\\
HC = BG
\end{array} \right.\)

Xét \(\Delta ACG\) có : \(MQ//GC\) (do cùng vuông góc với \(\text{AC}\))

\(\Rightarrow \frac{MQ}{GC}=\frac{AM}{AG}\) (định lí Ta-lét)

Chứng minh tương tự có \(\frac{PM}{BG}=\frac{AM}{AG}\)

\(\Rightarrow \frac{MQ}{GC}=\frac{PM}{BG}\left( =\frac{AM}{AG} \right)\)

Mà có \(\left\{ \begin{align} & BH=GC \\ & HC=BG \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{MQ}{BH}=\frac{PM}{HC}\Rightarrow \frac{MQ}{PM}=\frac{BH}{HC}\ \ \ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta FHB\) và \(\Delta EHC\) có:

\(\angle FBH=\angle HCE\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\))

\(\angle BFH=\angle HEC={{90}^{o}}\)

\(\Rightarrow \Delta FHB\sim \Delta EHC\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{FH}{HE}=\frac{BH}{HC}\) (2)\(\) \(\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{MQ}{PM}=\frac{FH}{HE}\Rightarrow MQ.HE=HF.MP\ \ \left( dpcm \right)\)

c) Ta có

\(\begin{align} & FH=AH.\sin (\angle BAD)=AH.\frac{BD}{AB} \\ & PM=BM.\sin (\angle ABD)=BM.\frac{AD}{AB} \\ & \Rightarrow FH.PM=AH.BM.\frac{BD}{AB}.\frac{AD}{AB}. \\\end{align}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(HE.QM=AH.MC.\frac{DC}{AC}.\frac{AD}{AC}\)

Ta có : \(HE.MQ=HF.MP\)

\(\Rightarrow AH.BM.\frac{BD}{AB}.\frac{AD}{AB}=AH.MC.\frac{DC}{AC}.\frac{AD}{AC}\Rightarrow \frac{BM}{MC}.\frac{BD}{DC}={{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}\ \ \ \left( dpcm \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link