a) Xác định các giá trị của \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}-2mx-6m-9=0\) (\(x\) là ẩn số) có

Câu hỏi số 272383:

Vận dụng cao

a) Xác định các giá trị của \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}-2mx-6m-9=0\) (\(x\) là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{2{{x}_{2}}}=\frac{1}{3}\)

b) Giải phương trình \(\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{2}\)

A. a) \(m=-\frac{3}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\)

b) \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)

B. a) \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\)

b) \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)

C. a) \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{3}{8}\)

b) \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)

D. a) \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\)

b) \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{8};\ 1;\ \frac{2}{3} \right\}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272383

Phương pháp giải

a) +) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.\)

b) Nhận thấy : \(3{{x}^{2}}-x+1-(3{{x}^{2}}-7x+2)-2=6x-3\) Từ đó đặt ẩn phụ rồi lập phương 2 vế.

Giải chi tiết

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m+9>0\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne -3\)

Áp dụng định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}.{x_2} = - 6m - 9
\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có : \(\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{2{{x}_{2}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{x}_{2}}}{2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}=\frac{1}{3}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có : \(\frac{{{x}_{2}}+2m}{2\left( -6m-9 \right)}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3{{x}_{2}}+6m=-12m-18\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6m-6\)

Mà có : \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\Rightarrow {{x}_{1}}=2m-{{x}_{2}}=2m+6m+6=8m+6\)

Ta có: \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=-6m-9\Rightarrow \left( -6m-6 \right).\left( 8m+6 \right)=-6m-9\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right)\left( {8m + 6} \right) = 2m + 3\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 28m + 12 = 2m + 3\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 26m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 1}}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\
m = \frac{{ - 9}}{8}\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\) là các giá trị cần tìm.

b) ĐKXĐ: \(x\in \mathbb{R}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}=a \\ & \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}=b \\\end{align} \right.\) .

Ta có: \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=3{{x}^{2}}-x+1-3{{x}^{2}}+7x-2=6x-1\)

\(\Rightarrow 6x-3={{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2\Rightarrow \sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(a-b-\sqrt[3]{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2}=\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow a-b-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-2}\ \ \ \left( * \right)\)

Lập phương 2 vế ta được :

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left[ {\left( {a - b} \right) - \sqrt[3]{2}} \right]^3} = {a^3} - {b^3} - 2\\
\Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^3} - 3\sqrt[3]{2}{\left( {a - b} \right)^2} + 3\sqrt[3]{4}\left( {a - b} \right) - 2 = {a^3} - {b^3} - 2\\
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4}} \right] = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} - \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)} \right]\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - b = 0\\
{\left( {a - b} \right)^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} = {a^2} + ab + {b^2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(a=b\) ta có: \(\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}=\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-x+1=3{{x}^{2}}-7x+2 \\ & \Leftrightarrow 6x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}. \\\end{align}\)

+) Với \({{\left( a-b \right)}^{2}}-3\sqrt[3]{2}\left( a-b \right)+3\sqrt[3]{4}={{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;{\left( {a - b} \right)^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} = {a^2} + ab + {b^2}\\
\Leftrightarrow \;{\left( {a - b} \right)^2} - 3\sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + 3\sqrt[3]{4} = {\left( {a - b} \right)^2} + 3ab\\
\Leftrightarrow - \sqrt[3]{2}\left( {a - b} \right) + \sqrt[3]{4} = ab\\
\Leftrightarrow - \sqrt[3]{2}a + \sqrt[3]{2}b + \sqrt[3]{4} - ab = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt[3]{2}\left( {\sqrt[3]{2} - a} \right) + b\left( {\sqrt[3]{2} - a} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{2} + b} \right)\left( {\sqrt[3]{2} - a} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - \sqrt[3]{2} = 0\\
b + \sqrt[3]{2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \sqrt[3]{2}\\
b = - \sqrt[3]{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với \(a=\sqrt[3]{2}\Rightarrow \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}=\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-x+1=2\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-x-1=0\Leftrightarrow x\approx 0,85\)

Với \(b=-\sqrt[3]{2}\Rightarrow \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}=-\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-7x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{4}{3} \\\end{align} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link