a) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng

Câu hỏi số 272385:

Vận dụng cao

a) Cho \(x,y,z\) là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng \(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge \frac{49}{16}\) Đẳng thức xảy ra khi nào ?

b) Cho số tự nhiên \(z\) và các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \(x+y+xy=1\) Tìm giá trị của \(x,y,z\) sao cho \(\left( {{2}^{z+1}}+42 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1 \right)\) là số chính phương lớn nhất.

A. b) \(x=-3;y=-2;z=9\)

B. b) \(x=-5;y=-2;z=2\)

C. b) \(x=-3;y=1;z=2\)

D. b) \(x=-3;y=-2;z=2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272385

Phương pháp giải

a) Sử dụng bất đẳng thức :\(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}+\frac{{{z}^{2}}}{c}\ge \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{a+b+c}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

b) Sử dụng tính chất: Số chính phương khi chia 8 dư 0, 1, 4

Giải chi tiết

a) dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}}{x}+\frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{{{\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1 \right)}^{2}}}{x+y+z}=\frac{49}{16}\ \ \left( do\ \ \ x+y+z=1 \right)\) \(\)

Dấu “=” xảy ra

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
\frac{x}{{\frac{1}{4}}} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{1}\;\;\;\left( * \right)
\end{array} \right.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{2}}=\frac{z}{1}=\frac{x+y+z}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}=\frac{4}{7}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{4}{7}.\frac{1}{4}=\frac{1}{7} \\ & y=\frac{4}{7}.\frac{1}{2}=\frac{2}{7} \\ & z=\frac{4}{7}.1=\frac{4}{7} \\\end{align} \right.\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi \(\left( x;\ y;\ z \right)=\left( \frac{1}{7};\ \frac{2}{7};\ \frac{4}{7} \right)\)

b) Ta có

\(\begin{align} & A=\left( {{2}^{z+1}}+42 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1 \right)=\left( {{2.2}^{z}}+42 \right)\left[ {{x}^{2}}\left( {{y}^{2}}+1 \right)+\left( {{y}^{2}}+1 \right) \right] \\ & \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right). \\\end{align}\)

Theo đề bài : \(x+y+xy=1\)

\(\begin{align} & \Rightarrow A=2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( {{x}^{2}}+x+y+xy \right)\left( {{y}^{2}}+x+y+xy \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left[ x\left( x+1 \right)+y\left( x+1 \right) \right]\left[ y\left( y+1 \right)+x\left( y+1 \right) \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right)\left( x+1 \right)\left( x+y \right)\left( y+1 \right)\left( x+y \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{2}^{z}}+21 \right){{\left( x+y \right)}^{2}}\left( x+y+xy+1 \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ =4{{\left( x+y \right)}^{2}}\left( {{2}^{z}}+21 \right). \\\end{align}\)

Nhận thấy để \(A\) là số chính phương thì \({{2}^{z}}+21\) phải là số chính phương (do \(4{{\left( x+y \right)}^{2}}\) đã là số chính phương )

+) Chứng minh các số chính phương chia 8 dư 0 , 1 , 4

Ta thấy tất cả các số tự nhiên đều có 1 trong 4 dạng sau : \(4k;4k+1;4k+2;4k+3\) với \(k\in \mathbb{N}\)

Lần lượt xét các số chính phương : \(\)

\(-))\frac{{{\left( 4k \right)}^{2}}}{8}\) dư 0

\(-\frac{{{\left( 4k+1 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+k+\frac{1}{8}\) dư 1

\(-)\frac{{{\left( 4k+2 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+2k+\frac{4}{8}\) dư 4

\(-)\frac{{{\left( 4k+3 \right)}^{2}}}{8}=2{{k}^{2}}+3k+1+\frac{1}{8}\) dư 1

Vậy ta có điều cần chứng minh.

+) Xét \({{2}^{z}}+21\) ta thấy với \(z>3\) suy ra \(\frac{{{2}^{z}}+16+5}{8}={{2}^{z-3}}+2+\frac{5}{8}\)

\(\Rightarrow {{2}^{z}}+21\) chia 8 dư 5 (không thỏa mãn điều kiện là số chính phương)

+) Với \(z=2\) ta có: \({{2}^{z}}+21=4+21=25={{5}^{2}}\) là số chính phương.

+) Với \(z=1\) ta có: \({{2}^{z}}+21=2+21=23\) không là số chính phương.

+) Với \(z=0\) ta có: \({{2}^{z}}+21=1+21=22\) không là số chính phương.

Suy ra ta thấy chỉ có \(z=2\) để \(A\) là số chính phương.

+) Để\(A\) là số chính phương lớn nhất thì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\) lớn nhất

Theo đề bài ta có: \(x+y+xy=1\Leftrightarrow x\left( y+1 \right)=1-y\Rightarrow x=\frac{1-y}{1+y}=\frac{2}{1+y}-1\ \ \left( y\ne -1 \right)\)

Mà \(x \in Z \Rightarrow \left( {1 + y} \right) \in U\left( 2 \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 + y = - 1\\
1 + y = 1\\
1 + y = 2\\
1 + y = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = - 2 \Rightarrow x = - 3\\
y = 0 \Rightarrow x = 1\\
y = 1 \Rightarrow x = 0\\
y = - 3 \Rightarrow x = - 2
\end{array} \right..\)

Với \(y=-1\Rightarrow x-1-x=1\Rightarrow 0x=2\) (vô lý).

Nhận thấy với \(y=-2;x=-3\) thì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\) lớn nhất

Vậy số chính phương lớn nhất tìm được là : \(A=4.{{\left( -2-3 \right)}^{2}}.\left( {{2}^{2}}+21 \right)=2500={{50}^{2}}\)

Vậy \(x=-3;y=-2;z=2\) là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link