a) Cho a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau: \(a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c +

Câu hỏi số 272683:

Vận dụng

a) Cho a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau: \(a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} = x.\) Tính \(P = x.abc\).

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: \(x + y + z = 9;\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz.\)

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,P = \pm 2;\,\,P = 1\\
b)\,\,{T_{\min }} = 160
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,P = - 2;\,\,P = 1\\
b)\,\,{T_{\min }} = 162
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,P = \pm 2;\,\,P = \pm 1\\
b)\,\,{T_{\min }} = 162
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,P = 2;\,\,P = - 1\\
b)\,\,{T_{\min }} = 162
\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272683

Giải chi tiết

a) Cho a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau: \(a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} = x.\) Tính \(P = x.abc\).

Ta có: \(a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow a - b = \dfrac{{b - c}}{{bc}}\)

Tương tự ta có: \(b - c = \dfrac{{c - a}}{{ac}};c - a = \dfrac{{a - b}}{{ab}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = \dfrac{{b - c}}{{bc}}.\dfrac{{c - a}}{{ac}}.\dfrac{{a - b}}{{ab}}\\ \Leftrightarrow {\left( {abc} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}abc = 1\\abc = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(abc = 1 \Rightarrow P = x\) thì giả thiết tương đương với:

\(\begin{array}{l}a + ac = b + ba = c + cb = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} = \left( {a + ac} \right)\left( {b + ba} \right)\left( {c + cb} \right) = abc\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\\a + b + c + ab + ac + cb = 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^3} = abc + ab + ac + bc + 1 + a + b + c = ab + ac + bc + a + b + c + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} = 3x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 2\\P = - 1\end{array} \right..\end{array}\)

Nếu \(abc = - 1\), biến đổi hoàn toàn tương tự.

\(\begin{array}{l}a - ac = b - ba = c - cb = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} = \left( {a - ac} \right)\left( {b - ba} \right)\left( {c - cb} \right) = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) = \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\\a + b + c - ac - ba - cb = 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^3} = abc - ab - ac - bc - 1 + a + b + c = - ab - ac - bc + a + b + c - 2\\ \Leftrightarrow {x^3} = 3x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 2\\P = - 1\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy giá trị của P là: \(P = 2\) hoặc \(P = - 1\).

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: \(x + y + z = 9;\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz.\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}} = 1\). Do đó dấu bằng phải xảy ra thì mới xảy ra giả thiết hay \(x = y = z = 3\)

Thay vào T ta được \(T = 162\).

Vậy giá trị nhỏ nhất hay cũng là giá trị duy nhất của T là 162.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link