Cho biểu thức: \(P=\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left(

Câu hỏi số 273114:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(P=\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \right)\) (với \(x>0,\ \ x\ne 1\)).

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Chứng minh rằng với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\) thì \(P>4.\)

A. 1) \(P=\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{5\sqrt{x}}.\)

B. 1) \(P=\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{2\sqrt{x}}.\)

C. 1) \(P=\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}}.\)

D. 1) \(P=\frac{{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273114

Phương pháp giải

1) Phân tích và quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và thu gọn mẫu biểu thức P.

2) Lấy kết quả thu gọn của biểu thức P, chứng minh bất phương trình \(P>4\) luôn có nghiệm với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\)

Giải chi tiết

1) Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1\)

\(\begin{align} & P=\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \right) \\ & \ \ \ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}:\left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \right)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}:\frac{x-1+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ & \ \ \ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}:\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ & \ \ \ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}}. \\\end{align}\)

2) Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1\)

\(\begin{align} & P>4\Leftrightarrow \frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}}>4\Leftrightarrow \frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-4>0 \\ & \Leftrightarrow \frac{x+2\sqrt{x}-4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>0 \\ & \Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1>0\ \ \ \left( do\ \ \sqrt{x}>0\ \ \forall x>0 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}>0. \\\end{align}\)

Với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\) ta luôn có \({{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}>0.\)

Vậy \(P>4\) với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link