Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y={{x}^{2}}\) và đường thẳng (d) có

Câu hỏi số 273292:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y={{x}^{2}}\) và đường thẳng (d) có phương trình \(y=2\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}\) (với m là tham số).

1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

2. Gọi \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để \(\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13.\)

A. 1) \(m>-\frac{3}{2}.\)

2) \(m=1.\)

B. 1) \(m>-\frac{1}{2}.\)

2) \(m=1.\)

C. 1) \(m>-\frac{1}{2}.\)

2) \(m=6.\)

D. 1) \(m<-\frac{1}{2}.\)

2) \(m=1.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273292

Phương pháp giải

+) Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số phải có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

+) Sử dụng hệ thức Vi-ét và biến đổi biểu thức của bài toán đề làm bài.

Giải chi tiết

1. Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({{x}^{2}}=2\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}=0.\ \ \ \left( * \right)\)

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}>0 \\ & \Leftrightarrow 2m+1>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}. \\\end{align}\)

Vậy \(m>-\frac{1}{2}.\)

2. Gọi \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để \(\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13.\)

Với \(m>-\frac{1}{2}\) thì đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right),\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right).\)

Khi đó \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình (*).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m+1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}} \\\end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=13\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 13\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 2.2\left( {m + 1} \right) = 12\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 4 - 12 = 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 8 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 2 = 0\\
m - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - 2\;\;\left( {ktm} \right)\\
m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(m=1.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link