Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đọna AB (H khác A và B),

Câu hỏi số 273293:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đọna AB (H khác A và B), đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi N là giao điểm của AM và CD.

1. Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh MA là phân giác của góc CMD.

3. Chứng minh \(A{{D}^{2}}=AM.AN\)

4. Gọi I là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273293

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác BMNH có tổng hai góc đối bằng 180⁰

2. Chứng minh số đo cung AC = số đo cung AD. Sử dụng tính chất: Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

3. Chứng minh hai tam giác AND và AMD đồng dạng.

4. Chứng minh I là giao điểm của hai đường phân giác MA và CB của tam giác CMP.

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn.

Ta có \(\widehat{BMN}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat{BHN}={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\)

Xét tứ giác BMNH có \(\widehat{BMN}+\widehat{BNH}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác BMNH nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2. Chứng minh MA là phân giác của góc CMD.

\(AB\bot CD\) tại H \(\Rightarrow \) H là trung điểm của CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\(\Rightarrow \Delta ACD\) cân tại A (AH là trung tuyến đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow AC=AD\Rightarrow \) số đo cung AC = số đo cung AD.

\(\Rightarrow \widehat{CMA}=\widehat{DMA}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Vậy AM là phân giác của góc CMD.

3. Chứng minh \(A{{D}^{2}}=AM.AN\)

Lại có \(\widehat{CMA}=\widehat{CDA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow \widehat{CDA}=\widehat{DMA}\Rightarrow \widehat{NDA}=\widehat{DMA}\)

Xét tam giác ADN và tam giác AMD có:

\(\widehat{MAD}\) chung;

\(\widehat{NDA}=\widehat{DMA}\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ADN\backsim \Delta AMD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AD}{AM}=\frac{AN}{AD}\Rightarrow A{{D}^{2}}=AM.AN\ \ \left( dpcm \right)\)

4. Gọi I là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP.

Ta có \(OC=OD\Rightarrow \) O thuộc trung trực của CD, \(AC=AD\Rightarrow \) A thuộc trung trực của CD.

Suy ra AB là trung trực của CD.

\(B\in AB\Rightarrow BC=BD\Rightarrow \Delta BCD\) cân tại B \(\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{BDC}\)

\(P\in AB\Rightarrow PC=PD\Rightarrow \Delta PCD\) cân tại P \(\Rightarrow \widehat{PCD}=\widehat{PDC}\)

\(\Rightarrow \widehat{BCD}-\widehat{PCD}=\widehat{BDC}-\widehat{PDC}\Rightarrow \widehat{BCP}=\widehat{BDP}\)

Lại có \(\widehat{BDP}=\widehat{BDM}=\widehat{BCM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM của (O)).

\(\Rightarrow \widehat{BCP}=\widehat{BCM}\Rightarrow CB\) là phân giác của góc MCP.

Xét tam giác CMP có:

MA là phân giác của góc CMD;

CB là phân giác của MCP ;

\(MA\cap CB=I\,\,\left( gt \right)\)

\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link