Cho đường tròn (w) có tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn (w). Qua A kẻ tiếp tuyến AK,
Cho đường tròn (w) có tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn (w). Qua A kẻ tiếp tuyến AK, AL tới (w) với K, L là các tiếp điểm. Dựng tiếp tuyến d của (w) tại E thuộc cung nhỏ KL. Đường thẳng d cắt đường thẳng AL, AK tương ứng tại M, N. Đường thẳng KL cắt OM tại P và ON tại Q. Chứng minh rằng:
1) \(\angle AOL=\angle AKL.\)
2) \(\angle MON={{90}^{0}}-\frac{\angle KAL}{2}.\)
3) MQ vuông góc ON
4) KQ. PL = EM . EN
Quảng cáo
1) \(\angle AOL=\angle AKL.\)
Ta có:
\(\angle AKO+\angle ALO={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\) nên AKOL là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\()
Do đó : \(\angle AKL=\angle AOL\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AL). (đpcm)
2) \(\angle MON={{90}^{0}}-\frac{\angle KAL}{2}\)
Ta có: \(\Delta OLM\sim \Delta OEM\ \left( g-g \right)\Rightarrow \angle LOM=\angle MOE=\frac{1}{2}\angle LOE.\)
\(\Delta EON\sim \Delta KON\ \left( g-g \right)\Rightarrow \angle KON=\angle EON=\frac{1}{2}\angle KOE.\)
Vì tứ giác \(AKOL\) nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \angle KOL={{180}^{0}}-\angle KAL.\)
Ta có ngay:
\(\begin{align} & \angle MON=\angle MOE+\angle EON=\frac{1}{2}\angle EOL+\frac{1}{2}\angle EOK=\frac{1}{2}\angle KOL=\frac{1}{2}({{180}^{0}}-\angle KAL). \\ & \Rightarrow \angle MON={{90}^{0}}-\frac{\angle KAL}{2}\ \ \ \left( dpcm \right). \\\end{align}\)
3) MQ vuông góc ON.
Ta có:
\(\angle QOM=\angle MON=\angle QLM\) nên QOLM là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow \angle MQO={{180}^{0}}-\angle MLO={{180}^{0}}-{{90}^{0}}={{90}^{0}}\) hay MQ vuông góc ON. (đpcm)
4) KQ. PL = EM . EN
Tứ giác \(OEML\) có \(\angle OLM+\angle OEM={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)
\(\Rightarrow OEML\) là tứ giác nội tiếp.
\(\Rightarrow \angle EMO=\angle ELO=\angle ELK+\angle KLO=\frac{1}{2}\angle EOK+\angle LKO=\angle NOK+\angle LKO=\angle NQK\)
Mà \(\angle OEM=\angle OML\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\(\Rightarrow \angle NQK=\angle LMO\ \left( =\angle OME \right).\)
Có \(\angle NKQ=\angle MLP\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta MLP\sim \Delta QKN\ (g.g)\Rightarrow \frac{ML}{QK}=\frac{LP}{KN} \\ & \Rightarrow KQ.PL=ML.NL=EM.EN\ \ \ \left( dpcm \right). \\\end{align}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
