1) Tìm tất cả cặp số nguyên x, y thỏa mãn: \({{y}^{2}}+2xy-3x-2=0\) 2) Cho m, n là các

Câu hỏi số 273710:

Vận dụng

1) Tìm tất cả cặp số nguyên x, y thỏa mãn: \({{y}^{2}}+2xy-3x-2=0\)

2) Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn: \(4{{(m+n)}^{2}}-mn\) chia hết 225. CMR: mn cũng chia hết cho 225.

A. \(\left( x;\ y \right)=\left\{ \left( -1;\ 2 \right);\ \ \left( -2;\ 1 \right) \right\}.\)

B. \(\left( x;\ y \right)=\left\{ \left( -1;\ 1 \right);\ \ \left( -2;\ 2 \right) \right\}.\)

C. \(\left( x;\ y \right)=\left\{ \left( -1;\ 2 \right);\ \ \left( -2;\ 4 \right) \right\}.\)

D. \(\left( x;\ y \right)=\left\{ \left( -3;\ 1 \right);\ \ \left( -3;\ 2 \right) \right\}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273710

Phương pháp giải

1) Coi y lả ẩn, x là tham số để đưa về phương trình bậc 2 giải delta là bình phương của 1 số.

2) Chú ý phân tích 225 thành các số nguyên tố.

Giải chi tiết

1) Tìm tất cả cặp số nguyên x, y thỏa mãn: \({{y}^{2}}+2xy-3x-2=0\ \ \left( * \right)\)

Coi phương trình đã hco là phương trình bậc hai ẩn \(y\) có tham số \(x.\)

Ta có: \(\Delta =4{{x}^{2}}+12x+8.\)

Vì \(x,\ y\in Z\Rightarrow \Delta \) phải là số chính phương.

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4{x^2} + 12x + 8 = {k^2} \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 9 - {k^2} = 1\\
\Leftrightarrow {(2x + 3)^2} - {k^2} = 1\\
\Leftrightarrow (2x + 3 - k)(2x + 3 + k) = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 - k = 1\\
2x + 3 + k = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 - k = - 1\\
2x + 3 + k = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\
k = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\
k = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

Với \(x=-1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1=0\Leftrightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=1\ \ \ \left( tm \right).\)

Với \(x=-2\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y+4=0\Leftrightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow y=2\ \ \left( tm \right).\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(\left( x;\ y \right)=\left\{ \left( -1;\ 1 \right);\ \ \left( -2;\ 2 \right) \right\}.\)

2) Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn: \(4{{(m+n)}^{2}}-mn\) chia hết 225. CMR: mn cũng chia hết cho 225.

Đặt: \(A=4{{(m+n)}^{2}}-mn.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4A = 16{(m + n)^2} - 4mn = 16{(m + n)^2} - \left[ {{{\left( {m + n} \right)}^2} - {{\left( {m - n} \right)}^2}} \right]\\
{\rm{ = 15}}{\left( {m + n} \right)^2} + {(m - n)^2}\\
A\; \vdots \;225 = {15^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - n} \right)\;\; \vdots \;\;3\\
\left( {m - n} \right)\;\; \vdots \;\;5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{(m - n)^2}\; \vdots \;9\\
{(m - n)^2}\; \vdots \;25
\end{array} \right. \Rightarrow {(m - n)^2}\; \vdots \;225\\
\Rightarrow {(m + n)^2}\; \vdots \;15 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + n} \right)\;\; \vdots \;\;3\\
\left( {m + n} \right)\;\; \vdots \;\;5
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - n} \right)\;\; \vdots \;\;15\\
\left( {m + n} \right)\;\; \vdots \;\;15
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\;\; \vdots \;\;15\\
n\;\; \vdots \;\;15
\end{array} \right. \Rightarrow mn\;\; \vdots \;\;225.
\end{array}\)

Vậy \(4{{\left( m+n \right)}^{2}}-mn\) chia hết cho \(225\) thì \(mn\) cũng chia hết cho \(225.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link