Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm

Câu hỏi số 278284:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng côsin của góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng \(\frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}\). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. \(V = \frac{{\sqrt {19} {a^3}}}{6}\).

B. \(V = \frac{{\sqrt {15} {a^3}}}{6}\).

C. \(V = \frac{{\sqrt {19} {a^3}}}{2}\).

D. \(V = \frac{{\sqrt {15} {a^3}}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278284

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\widehat {\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right)} = \widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Giải chi tiết

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Tam giác SAB cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\)

Vì mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \(IJ \bot CD,\,\,SI \bot CD \Rightarrow CD \bot (SIJ)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SIJ} \right) \bot CD\\\left( {SIJ} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SJ\\\left( {SIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \widehat {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SJ;IJ} \right)} = \widehat {SJI}\,\,\left( {do\,\,\widehat {SJI} < {{90}^0}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos \widehat {SJI} = \frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}\\ \Rightarrow \frac{{IJ}}{{SJ}} = \frac{{2\sqrt {19} }}{{19}} \Rightarrow SJ = \frac{a}{{\frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}}} = \frac{{a\sqrt {19} }}{2}\\ \Rightarrow SI = \sqrt {S{J^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {19} }}{2}} \right)}^2} - {a^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\end{array}\)

Thể tích của khối chóp S.ABCD: \(V = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.