Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a. Tam giác \(SAB\)đều và nằm trong mặt
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a. Tam giác \(SAB\)đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tính bán kính mặt cầu.
Gọi M là trung điểm của AB; G là trọng tâm tam giác SAB; O là tâm của hình vuông ABCD
Do tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {SMO} = {90^0}\). Dựng hình chữ nhật GMOI. Khi đó:
\(OI//GM \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC = ID\)(1)
Mặt khác, \(GI//MO\), mà \(MO \bot AB,\,\,MO \bot SM \Rightarrow MO \bot \left( {SAB} \right)\)
\( \Rightarrow GI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IA = IS = IB\)(2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)
Ta có: G là trọng tâm tam giác đều SAB \( \Rightarrow GM = \frac{1}{3}.SM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(GMOI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow IB = \sqrt {O{I^2} + O{B^2}} = \sqrt {\frac{1}{{12}}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} = \sqrt {\frac{7}{{12}}} a = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
