Cho các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \(2x + y = \frac{5}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất\({P_{\min }}\)

Câu hỏi số 281942:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \(2x + y = \frac{5}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất\({P_{\min }}\) của biểu thức\(P = \frac{2}{x} + \frac{1}{{4y}}\).

\({P_{\min }}\) không tồn tại

\({P_{\min }} = \frac{{65}}{4}\)

\({P_{\min }}\)= 5

D. \({P_{\min }} = \frac{{34}}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:281942

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\) . Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{2}{x} + \frac{1}{{4y}}} \right)\left( {2x + y} \right) \ge {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow P.\frac{5}{4} \ge \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow P \ge 5\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {\frac{2}{x}} }}{{\sqrt {2x} }} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{4y}}} }}{{\sqrt y }} \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{{2y}} \Leftrightarrow x = 2y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \({P_{\min }} = 5\).

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.