Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AA’, BB’, CC’ của
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AA’, BB’, CC’ của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại D khác A.
a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ có tổng hai góc đối bằng 1800.
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Dựa vào tỉ số diện tích tam giác.
a) Chứng minh tứ giác AB’HC’ nội tiếp đường tròn.
Xét tứ giác AB’HC’ có \(\angle AB'H + \angle AC'H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AB’HC’ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HD và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
Ta có \(\angle ABD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AB \bot BD\).
Mà \(CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BD\parallel CH\)
Chứng minh tương tự ta có \(CD\parallel BH\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song)
Mà \(BC \cap HD = I\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của BC.
c) Tính \(\frac{{AH}}{{AA'}} + \frac{{BH}}{{BB'}} + \frac{{CH}}{{CC'}}\).
Ta có:
\(\frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HA'.BC}}{{\frac{1}{2}AA'.BC}} = \frac{{HA'}}{{AA'}} \Rightarrow 1 - \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1 - \frac{{HA'}}{{AA'}} = \frac{{AA' - HA'}}{{AA'}} = \frac{{AH}}{{AA'}}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{{BH}}{{BB'}} = 1 - \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}};\,\,\frac{{CH}}{{CC'}} = 1 - \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}}\)
\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AA'}} + \frac{{BH}}{{BB'}} + \frac{{CH}}{{CC'}} = 1 - \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + 1 - \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + 1 - \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 3 - \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 3 - 1 = 2\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
