Cho \(a,\;b,\;c\) là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(4.\) Chứng minh: \(\frac{1}{a} +

Câu hỏi số 284235:

Vận dụng cao

Cho \(a,\;b,\;c\) là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(4.\) Chứng minh:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 > 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284235

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có chu vi tam giác bằng 4 nên: \(a + b + c = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 4 - a\\a + c = 4 - b\\a + b = 4 - c\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 > 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - \,\,\,\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) < 8\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - c}} - \frac{1}{c}} \right) < 8\end{array}\)
Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác nên áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}b + c > a \Leftrightarrow a + b + c > 2a \Leftrightarrow 4 > 2a \Leftrightarrow a < 2.\\ \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {a - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2a + 1} \right)\left( {a - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {a^3} - 4{a^2} + 5a - 2 \le 0\\ \Rightarrow \frac{{{a^3} - 4{a^2} + 5a - 2}}{{a\left( {4 - a} \right)}} \le 0\,\,\,\left( {do\,\,\,a\left( {4 - a} \right) < 0} \right)\\ \Leftrightarrow - a + \frac{{5a - 2}}{{a\left( {4 - a} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{10a - 4}}{{a\left( {4 - a} \right)}} \le 2a \Leftrightarrow \frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a} \le 2a\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b} \le 2b\\\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a} \le 2c\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - c}} - \frac{1}{c}} \right) \le 2a + 2b + 2c = 2\left( {a + b + c} \right) = 2.4 = 8.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 1\\a + b + c = 4\end{array} \right. \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.

\( \Rightarrow \left( {\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - c}} - \frac{1}{c}} \right) < 8.\)

Vậy \(\,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 > 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link