Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm A sao cho \(OA = 3R\). Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm A sao cho \(OA = 3R\). Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn \(\left( O \right)\) (B và C là 2 tiếp điểm). Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho BM song song với AC. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O), K là giao điểm của hai đường thẳng BN và AC.
1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \(K{A^2} = KB.KN\)
3) Tính độ dài đoạn thẳng AK theo R.
4) Tiếp tuyến tại M, N của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại E. Chứng minh E, B, C thẳng hàng.
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác ABOC có \(\angle ABO = \angle ACO = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
2) Chứng minh \(K{A^2} = KB.KN\)
Ta có \(\angle ABN = \angle ABK = \angle AMB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BN)
Mà \(\angle AMB = \angle MAC = \angle NAK\) (so le trong do BM // AC)
\( \Rightarrow \angle ABK = \angle NAK\left( { = \angle ABK} \right)\).
Xét tam giác AKN và tam giác BKA có:
\( \Rightarrow \angle ABK = \angle NAK\) (cmt);
\(\angle AKB\) chung;
\( \Rightarrow \Delta AKN \sim \Delta BKA\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{KN}}{{KA}} \Rightarrow K{A^2} = KB.KN\)
3) Tính độ dài đoạn thẳng AK theo R.
Vì \(BM//AC \Rightarrow \angle MBC = \angle BCA\) (so le trong)
Mà \(\angle BCA = \angle BMC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)
\( \Rightarrow \angle MBC = \angle BMC \Rightarrow \Delta BCM\) cân tại C.
Kéo dài OC cắt BM tại H ta có \(CO \bot AC\,\,\left( {gt} \right);\,\,AC//BM\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OC \bot BM \Rightarrow OC \bot CH\).
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của BM (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Ta có \(OB = OC = R;\,\,AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC \( \Rightarrow OA \bot BC\).
Xét tam giác vuông OAC có \(AC = \sqrt {O{A^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3R} \right)}^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R = AB\) (định lí Pitago)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow CF = \frac{{AC.OC}}{{OA}} = \frac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}R = BF\\A{C^2} = AF.AO \Rightarrow AF = \frac{{A{C^2}}}{{AO}} = \frac{{8{R^2}}}{{3R}} = \frac{{8R}}{3}\end{array}\)
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow BC = 2CF = \frac{{4\sqrt 2 R}}{3}\)
\( \Rightarrow \cos \angle OCF = \frac{{CF}}{{OF}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Xét tam giác vuông BCH có: \(CH = BC.\cos \angle OCF = \frac{{4\sqrt 2 R}}{3}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{16R}}{9}\)
\( \Rightarrow BH = \sqrt {B{C^2} - C{H^2}} = \frac{{4\sqrt 2 R}}{9} \Rightarrow BM = 2BH = \frac{{8\sqrt 2 R}}{9}\)
Gọi \(D = AM \cap BC\), áp dụng định lí Ta-let ta có:
\(\frac{{BM}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{DM}}{{AD}} = \frac{{\frac{{8\sqrt 2 R}}{9}}}{{2\sqrt 2 R}} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BD + DC}} = \frac{4}{{4 + 9}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{4}{{13}} \Rightarrow BD = \frac{4}{{13}}.\frac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \frac{{16\sqrt 2 R}}{{39}}\)
\( \Rightarrow DF = BF - BD = \frac{{10\sqrt 2 R}}{{39}}\)
Xét tam giác vuông ADF có : \(A{D^2} = A{F^2} + D{F^2} = \frac{{64{R^2}}}{9} + \frac{{200{R^2}}}{{1521}} = \frac{{6\sqrt {34} R}}{{13}}\)
\(\frac{{BM}}{{AD}} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{DM + AD}}{{AD}} = \frac{{13}}{9} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{13}}{9} \Rightarrow AM = \frac{{13}}{9}AD = \frac{{2\sqrt {34} R}}{3}\)
Xét tam giác ANB và tam giác ABM có: \(\angle BAM\) chung;
\(\angle ABN = \angle AMB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BN);
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABN \sim \Delta AMB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AN = \frac{{A{B^2}}}{{AM}} = \frac{{8{R^2}}}{{\frac{{2\sqrt {34} R}}{3}}} = \frac{{6\sqrt {34} }}{{17}}R\\ \Rightarrow MN = AM - AN = \frac{{2\sqrt {34} R}}{3} - \frac{{6\sqrt {34} R}}{{17}} = \frac{{16\sqrt {34} R}}{{51}}\end{array}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{BM}}{{AK}} = \frac{{MN}}{{AN}} \Rightarrow AK = \frac{{BM.AN}}{{MN}} = \frac{{\frac{{8\sqrt 2 R}}{9}.\frac{{6\sqrt {34} }}{{17}}R}}{{\frac{{16\sqrt {34} R}}{{51}}}} = R\sqrt 2 \)
4) Tiếp tuyến tại M, N của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại E. Chứng minh E, B, C thẳng hàng.
Xét tứ giác OMEN có : \(\angle OME = \angle ONE = {90^0}\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle OME + \angle ONE = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OMEN nội tiếp đường tròn đường kính OE \( \Rightarrow E\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đường kính OE.
Ta có \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{AM}}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AN.AM = A{B^2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO có \(A{B^2} = AF.AO\)
\( \Rightarrow AN.AM = AF.AO \Rightarrow \frac{{AN}}{{AF}} = \frac{{AO}}{{AM}}\)
Xét tam giác ANF và tam giác AOM có :
\(\angle OAM\) chung ;
\(\frac{{AN}}{{AF}} = \frac{{AO}}{{AM}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ANF \sim \Delta AOM\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle AFN = \angle AMO = \angle NMO\)
Lại có \(\angle AFN + \angle NFO = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle NMO + \angle NFO = {180^0} \Rightarrow \) tứ giác OFNM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800) \( \Rightarrow F\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN đường kính OE.
\( \Rightarrow \angle OFE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow EF \bot OF \Rightarrow EF \bot OA\).
Mà \(BC \bot OA\,\,\,\left( {cmt} \right);\,\,F \in BC \Rightarrow \) qua F kẻ được hai đường thẳng vuông góc với OA là EF và BC
\( \Rightarrow EF \equiv BC\).
Vậy ba điểm E, B, C thẳng hàng (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
