Cho 3 tham số a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có

Câu hỏi số 285247:

Vận dụng cao

Cho 3 tham số a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2ax + b + c = 1\\{x^2} + 2bx + a + c = 1\\{x^2} + 2cx + a + b = 1\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285247

Phương pháp giải

- Để chứng minh phương trình có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)

- Sử dụng tính chất : nếu tổng 3 số \( \ge A\) thì trong 3 số có 1 số \( \ge \dfrac{A}{3}\)

Thật vậy : nếu cả 3 số đều \( < \dfrac{A}{3}\) thì tổng \( < A\) vô lý

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2ax + b + c = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 2bx + a + c = 1\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^2} + 2cx + a + b = 1\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Xét delta của 3 phương trình ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_{\left( 1 \right)}} = {a^2} - \left( {b + c - 1} \right)\\\Delta {'_{\left( 2 \right)}} = {b^2} - \left( {a + c - 1} \right)\\\Delta {'_{\left( 3 \right)}} = {c^2} - \left( {a + b - 1} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta {'_{\left( 1 \right)}} + \Delta {'_{\left( 2 \right)}} + \Delta {'_{\left( 3 \right)}} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Giả sử cả 3 số \(\Delta {'_{\left( 1 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 2 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 3 \right)}}\) đều nhỏ hơn 0 thì \(\Delta {'_{\left( 1 \right)}} + \Delta {'_{\left( 2 \right)}} + \Delta {'_{\left( 3 \right)}} < 0\)

\( \Rightarrow \)vô lý \( \Rightarrow \)trong 3 số \(\Delta {'_{\left( 1 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 2 \right)}};\,\,\Delta {'_{\left( 3 \right)}}\)tồn tại 1 số lớn hơn hoặc bằng 0.

Do đó luôn có 1 phương trình có nghiệm (đpcm).

Vậy ít nhất 1 trong 3 phương trình sau có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link