Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng

Câu 285366: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng

A. \(\frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

B. \(\frac{{5a}}{2}\).

C. \(5\sqrt 3 a\).

D. \(\frac{{5\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

Câu hỏi : 285366

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB, khi đó \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SCA} = 60^\circ \).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AC = 5a \Rightarrow SA = 5a\sqrt 3 \).

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\) nên \(MN{\rm{//}}\,AB \Rightarrow AB{\rm{//}}\,\left( {SMN} \right)\)

\(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(MN\) tại \(D\).

Do \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot MN \Rightarrow AD \bot MN\). Từ \(A\) kẻ \(AH\) vuông góc với \(SD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MD \bot AD\\MD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow MD \bot AH\)

Mà \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SMD} \right)\) hay \(AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\)

Do \(AD = BN = \frac{1}{2}BC = 2a\).

Xét \(\Delta SAD\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{75{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{79}}{{300{a^2}}}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = AH = \frac{{10\sqrt {237} a}}{{79}} = \frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.