Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\) và \(SA

Câu hỏi số 285366:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng

A. \(\frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

B. \(\frac{{5a}}{2}\).

C. \(5\sqrt 3 a\).

D. \(\frac{{5\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285366

Phương pháp giải

Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB, khi đó \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\)

Giải chi tiết

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SCA} = 60^\circ \).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AC = 5a \Rightarrow SA = 5a\sqrt 3 \).

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\) nên \(MN{\rm{//}}\,AB \Rightarrow AB{\rm{//}}\,\left( {SMN} \right)\)

\(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(MN\) tại \(D\).

Do \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot MN \Rightarrow AD \bot MN\). Từ \(A\) kẻ \(AH\) vuông góc với \(SD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MD \bot AD\\MD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow MD \bot AH\)

Mà \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SMD} \right)\) hay \(AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\)

Do \(AD = BN = \frac{1}{2}BC = 2a\).

Xét \(\Delta SAD\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{75{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{79}}{{300{a^2}}}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = AH = \frac{{10\sqrt {237} a}}{{79}} = \frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.