Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC}
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Xác định góc giữa SB và mặt đáy. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.
+) Dựng mặt phẳng (SBK) chứa SB và song song với AC, khi đó \(d\left[ {AC,SB} \right] = d\left[ {AC,\left( {SBK} \right)} \right] = \left[ {A;\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)
+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AH.
\(SA \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \)\(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow SA = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \)
Dựng \(d\)qua \(B\)và \(d{\rm{//}}AC\)
Dựng \(AK \bot d\)tại \(K\)
Dựng \(AH \bot SK\)tại \(H\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAK} \right)\)\( \Rightarrow BK \bot AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AH\\SK \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBK} \right)\)\( \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK{\rm{//}}AC\\BK \subset \left( {SBK} \right)\\AC \not\subset \left( {SBK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SBK} \right)\)\( \Rightarrow d\left[ {AC,SB} \right] = d\left[ {A,\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)
Gọi \(M\)là trung điểm \(AC\)\( \Rightarrow BM \bot AC\left( 1 \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK{\rm{//}}AC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot AC\left( 2 \right)\)
\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AK\;{\rm{//}}\;BM\)\( \Rightarrow AKBM\)là hình bình hành \( \Rightarrow AK = BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\) ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Vậy \(d\left( {AC,SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
