Hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + m\sin x\cos x\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{9}{8}\). Có bao

Câu hỏi số 287439:

Vận dụng

Hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + m\sin x\cos x\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{9}{8}\). Có bao nhiêu giá trị của m thõa mãn?

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287439

Phương pháp giải

- Dùng công thức \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

- Xét hàm số bậc hai với ẩn \(\sin 2x\) với \(\left| {\sin 2x} \right| \le 1\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + m\sin x\cos x\\\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + m\sin x\cos x\\\,\,\,\,\, = - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}m\sin 2x + 1\\\;\;\; = - \frac{1}{2}\left( {{{\sin }^2}2x - m\sin 2x} \right) + 1\\\,\,\,\,\, = - \frac{1}{2}{\left( {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right)^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8}\end{array}\)

Xét phương trình: \(\sin 2x - \frac{m}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{m}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Nếu (1) có nghiệm tức là \(\left| m \right| \le 2\), khi đó \(y = - \frac{1}{2}{\left( {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right)^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8} \le 1 + \frac{{{m^2}}}{8}\)

Giá trị lớn nhất: \(1 + \frac{{{m^2}}}{8} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow m = \pm 1\). Khi đó:

Với \(m = 1\) thì giá trị lớn nhất xảy ra khi \(\sin 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Với \(m = - 1\) thì giá trị lớn nhất xảy ra khi\(\sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

+) Nếu (1) vô nghiệm, tức là: \(\left| m \right| > 2\) khi đó:

TH1: Nếu \(m > 2\)thì: \(0 < \frac{m}{2} - 1 \le \left| {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right| \le \frac{m}{2} + 1\), khi đó:

\(y = - \frac{1}{2}{\left( {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right)^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8} \le 1 + \frac{{{m^2}}}{8} - \frac{1}{2}{\left( {\frac{m}{2} - 1} \right)^2} = \frac{1}{2} + \frac{m}{2}\)

Giá trị lớn nhất: \(\frac{1}{2} + \frac{m}{2} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\) (không thõa mãn)

TH2: Nếu \(m < - 2\)thì: \(0 < - \frac{m}{2} - 1 \le \left| {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right| \le - \frac{m}{2} + 1\), khi đó:

\(y = - \frac{1}{2}{\left( {\sin 2x - \frac{m}{2}} \right)^2} + 1 + \frac{{{m^2}}}{8} \le 1 + \frac{{{m^2}}}{8} - \frac{1}{2}{\left( { - \frac{m}{2} - 1} \right)^2} = \frac{1}{2} - \frac{m}{2}\)

Giá trị lớn nhất: \(\frac{1}{2} - \frac{m}{2} = \frac{9}{8} \Leftrightarrow m = - \frac{5}{4}\) (không thõa mãn)

Vậy có \(2\) giá trị của m là: \(m = \pm 1\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.