Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Kẻ \(BE//AC\,\,\left( {E \in CD} \right)\) \( \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\).
+) \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABE}}}}{{{S_{SBE}}}}\).
Kẻ \(BE//AC\,\,\left( {E \in CD} \right)\)
\( \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\).
Dễ thấy ABEC là hình bình hành \( \Rightarrow BE = AC = a\sqrt 2 \).
\(\widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A
\( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác vuông SAB có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác vuông ADE có: \(AE = \sqrt {A{D^2} + D{E^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \)
Xét tam giác vuông SAE có: \(SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \sqrt {2{a^2} + 5{a^2}} = a\sqrt 7 \).
\( \Rightarrow {S_{SBE}} = \sqrt {\dfrac{{a\sqrt 3 + a\sqrt 2 + a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 + a\sqrt 7 - a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 + a\sqrt 2 - a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 + a\sqrt 7 - a\sqrt 2 }}{2}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}\)
Ta có:
\({S_{ABE}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {E;AB} \right) = \dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABE}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABE}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
Mà \({V_{S.ABE}} = \dfrac{1}{3}{S_{SBE}}.d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABE}}}}{{{S_{SBE}}}} = \dfrac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
