Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD), cạnh AB bằng 3a, AD = CD = a. Tam giác SAB cân
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD), cạnh AB bằng 3a, AD = CD = a. Tam giác SAB cân tại S, SA = 2a. Mặt phẳng (P) song song SA, AB cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự tại M, N, P, Q. Đặt AM = x ( 0 < x < a). Gọi x là giá trị để tứ giác MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Xác định thiết diện.
+) Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
+) Tính độ dài các cạnh của thiết diện.
+) Để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn thì \(MN + PQ = MQ + PN \Leftrightarrow MN + PQ = 2QM\)
Mặt phẳng (P) song song SA, AB\( \Rightarrow \left( P \right)//\left( {SAB} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( {SAB} \right)\\\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow MN//AB\) và
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ\\\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\MN//CD\left( {//AB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ//CD//MN\)
\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang \(\left( {PQ//MN} \right)\)
*) Tính độ dài các cạnh của hình thang MNPQ:
\(\dfrac{{MQ}}{{SA}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{{a - x}}{a}\, \Rightarrow MQ = \dfrac{{a - x}}{a}.SA = \dfrac{{a - x}}{a}.2a = 2\left( {a - x} \right)\)
\(\dfrac{{PN}}{{SB}} = \dfrac{{CN}}{{BC}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{{a - x}}{a}\, \Rightarrow NP = \dfrac{{a - x}}{a}.SB = \dfrac{{a - x}}{a}.2a = 2\left( {a - x} \right)\)
\(\dfrac{{PQ}}{{CD}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow PQ = \dfrac{x}{a}.CD = \dfrac{x}{a}.a = x\)
Gọi \(I = MN \cap AC\).
Ta có: \(\dfrac{{MI}}{{CD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow MI = \dfrac{x}{a}.a = x\), \(\dfrac{{NI}}{{AB}} = \dfrac{{NC}}{{BC}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{{a - x}}{a} \Rightarrow NI = \dfrac{{a - x}}{a}.3a = 3\left( {a - x} \right)\)
\( \Rightarrow MN = x + 3\left( {a - x} \right) = 3a - 2x\)
Ta thấy \(MN > PQ\left( {3a - 2x > x,\,\,\forall x < a} \right)\) và \(QM = PN = 2\left( {a - x} \right)\,\, \Rightarrow MNPQ\) là hình thang cân.
*) Tìm x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn:
Để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn thì
\( \Leftrightarrow 3a - 2x + x = 2.2\left( {a - x} \right) \Leftrightarrow 3a - x = 4a - 4x \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}\)
*) Tính bán kính đường tròn:
Tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD là trung điểm của đoạn thẳng H, K với H, K lần lượt là trung điểm của PQ và MN.
Khi đó, hình thang cân MNPQ có:\(PQ = \dfrac{a}{3},\,\,MN = \dfrac{{7a}}{3},\,\,MQ = NP = \dfrac{{4a}}{3}\)
\(HK = \sqrt {P{N^2} - {{\left( {\dfrac{{MN - PQ}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{4a}}{3}} \right)}^2} - {a^2}} = \dfrac{{\sqrt 7 a}}{3}\)
\( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}\)
Vậy, bán kính của đường tròn đó là: \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{6}\)
Chọn: B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
