Cho x, y là hai số thực khác 0 thỏa mãn: \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4.\) Tìm giá

Câu hỏi số 292769:

Vận dụng cao

Cho x, y là hai số thực khác 0 thỏa mãn: \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4.\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(A = 2016 + xy\)

A. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2016\\{\min _A} = 2012\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2020\\{\min _A} = 2016\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2016\\{\min _A} = 2010\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2018\\{\min _A} = 2014\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292769

Phương pháp giải

Tách phương trình dữ kiện đầu bài thành phương trình một vế chứa hằng đẳng thức và một vế chỉ chứa xy. Từ đó tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của xy rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A.

Giải chi tiết

Ta có \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = 2 + xy\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} = 2 + xy\)

\(VT \ge 0 \Rightarrow xy \ge - 2\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} = \frac{{ - y}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy \({\min _A} = 2016 - 2 = 2014\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Ta có \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{x^2} - xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = 2 - xy\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} = 2 - xy\)

\(VT \ge 0 \Rightarrow xy \le 2\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy \({\max _A} = 2016 + 2 = 2018\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link