Cho x, y là hai số thực khác 0 thỏa mãn: \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(A = 2016 + xy\)
Câu 292769: Cho x, y là hai số thực khác 0 thỏa mãn: \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4.\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(A = 2016 + xy\)
A. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2016\\{\min _A} = 2012\end{array}\)
B. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2020\\{\min _A} = 2016\end{array}\)
C. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2016\\{\min _A} = 2010\end{array}\)
D. \(\begin{array}{l}{\max _A} = 2018\\{\min _A} = 2014\end{array}\)
Tách phương trình dữ kiện đầu bài thành phương trình một vế chứa hằng đẳng thức và một vế chỉ chứa xy. Từ đó tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của xy rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A.
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = 2 + xy\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} = 2 + xy\)
\(VT \ge 0 \Rightarrow xy \ge - 2\).
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} = \frac{{ - y}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Vậy \({\min _A} = 2016 - 2 = 2014\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\end{array} \right..\)
Ta có \(2{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{1}{{{x^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{x^2} - xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = 2 - xy\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{y}{2}} \right)^2} = 2 - xy\)
\(VT \ge 0 \Rightarrow xy \le 2\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\y = 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Vậy \({\max _A} = 2016 + 2 = 2018\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
