Cho hình vuông ABCD. Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), K là điểm thuộc cạnh CD. Chứng minh nếu

Câu hỏi số 297124:

Vận dụng cao

Cho hình vuông ABCD. Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), K là điểm thuộc cạnh CD.

Chứng minh nếu \(AG \bot GK\) thì \(KC = 2KD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297124

Phương pháp giải

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b ;\frac{{DK}}{{DC}} = x\). Tìm \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {GK} \) theo \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,x\)

Để \(AG \bot GK \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GK} = 0\) giải để tìm x từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết

Gọi cạnh hình vuông là a.

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = a\,\,;\,\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)

Đặt \(\frac{{DK}}{{DC}} = x \Rightarrow DK = x.DC \Rightarrow \overrightarrow {DK} = x\overrightarrow a \)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\\\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\\\overrightarrow {GK} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DK} - \overrightarrow {AG} \\\;\;\;\;\; = \overrightarrow b + x\overrightarrow a - \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right]\\\;\;\;\;AG \bot GK \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GK} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\frac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {3x - 2} \right) + 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow KC = 2KD\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.