Cho hình vuông ABCD. Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), K là điểm thuộc cạnh CD. Chứng minh nếu

Câu hỏi số 297124:

Vận dụng cao

Cho hình vuông ABCD. Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), K là điểm thuộc cạnh CD.

Chứng minh nếu \(AG \bot GK\) thì \(KC = 2KD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297124

Phương pháp giải

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b ;\frac{{DK}}{{DC}} = x\). Tìm \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {GK} \) theo \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,x\)

Để \(AG \bot GK \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GK} = 0\) giải để tìm x từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết

Gọi cạnh hình vuông là a.

Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = a\,\,;\,\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)

Đặt \(\frac{{DK}}{{DC}} = x \Rightarrow DK = x.DC \Rightarrow \overrightarrow {DK} = x\overrightarrow a \)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\\\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\\\overrightarrow {GK} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DK} - \overrightarrow {AG} \\\;\;\;\;\; = \overrightarrow b + x\overrightarrow a - \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right]\\\;\;\;\;AG \bot GK \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GK} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\frac{1}{3}\left[ {\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {3x - 2} \right) + 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow KC = 2KD\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10