Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Câu hỏi số 298707:

Vận dụng

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(D\) và \(N\) là trung điểm của cạnh \(SC\). Mặt phẳng \((BMN)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện \(\left( {{H_1}} \right)\) và \(\left( {{H_2}} \right)\), trong đó \(\left( {{H_1}} \right)\) chứa điểm \(C\). Thể tích của khối \(\left( {{H_1}} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{7\sqrt 6 {a^3}}}{{72}}\).

B. \(\dfrac{{5\sqrt 6 {a^3}}}{{72}}\).

C. \(\dfrac{{7\sqrt 6 {a^3}}}{{36}}\).

D. \(\dfrac{{5\sqrt 6 {a^3}}}{{36}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298707

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó,

\(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Giải chi tiết

Trong (SCD), gọi \(P = MN \cap SD\) ; trong (ABCD), gọi \(Q = MB \cap AD\)

\( \Rightarrow \) Thiết diện của khối chóp cắt bởi (MNB) là tứ giác BNPQ.

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow OA = \dfrac{{AD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

S.ABCD là chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {SA;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SA;AO}} \right) = \widehat {SAO} = 60^\circ \)

\(\Delta \)SAO vuông tại O \( \Rightarrow SO = OA.\tan \widehat {SAO} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(\Delta \)SMC có: MN, SD là trung tuyến, \(MN \cap SD = P \Rightarrow P\) là trọng tâm \(\Delta \)SMC \( \Rightarrow \dfrac{{MP}}{{MN}} = \dfrac{2}{3}\)

Do \(\Delta MDQ = \Delta BAQ\,(g.c.g) \Rightarrow MQ = QB\)

Ta có:

\(\dfrac{{{V_{M.PDQ}}}}{{{V_{M.NCB}}}} = \dfrac{{MD}}{{MC}}.\dfrac{{MP}}{{MN}}.\dfrac{{MQ}}{{MB}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{M.PDQ}} = \dfrac{1}{6}{V_{M.NCB}} \Rightarrow {V_{CDQBNP}} = \dfrac{5}{6}{V_{M.NCB}}\)

\( \Leftrightarrow {V_{{H_1}}} = \dfrac{5}{6}{V_{M.NCB}}\)

Ta lại có:

\({V_{M.NCB}} = \dfrac{1}{3}.{d_{\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.{S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{d_{\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\left( {\dfrac{1}{2}.MC.BC} \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.SO.\left( {DC.BC} \right)\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.a.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow {V_{{H_1}}} = \dfrac{5}{6}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 6 }}{{72}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.