Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n})\), biết: \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}}

Câu hỏi số 298967:

Vận dụng

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n})\), biết: \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\)

A. Dãy số tăng, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298967

Phương pháp giải

Nếu \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {N^*}\) thì lập tỉ số: \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu \(T > 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

+) Nếu \(T < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại 2 số \(M,\,m\) sao cho: \(m \le {u_n} \le M\,,\,\,\forall n \in {N^*}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {n + 1} \right) + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 3n + 3} }}\\ \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {{n^2} + n + 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 3n + 3} }} = \sqrt {\frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + 3n + 3}}} < 1{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}{\rm{ }}\forall \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy số giảm.

Mặt khác: \(0 < {u_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.