Hình thang ABCD có đáy AB = 2CD, trong đó A, B thuộc trục hoành, C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos

Câu hỏi số 299415:

Vận dụng cao

Hình thang ABCD có đáy AB = 2CD, trong đó A, B thuộc trục hoành, C, D thuộc đồ thị hàm số y = cos x. Biết đường cao của hình thang ABCD bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) và \(AB < \pi \). Tính độ dài cạnh đáy AB?

A. \(AB = \frac{{2\pi }}{3}\)

B. \(AB = \frac{{\pi }}{3}\)

C. \(AB = \frac{{5\pi }}{6}\)

D. \(AB = \frac{{3\pi }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:299415

Giải chi tiết

Vẽ \(DH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\) ta có \(DH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Phương trình CD: \(y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .

TH1: Phương trình CD: \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .

Khi đó tọa độ điểm C, D là nghiệm của phương trình .

\(\begin{array}{l}\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + n2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {m,n \in Z} \right)\\\Rightarrow CD = \left| {{x_C} - {x_D}} \right| = \left| {\frac{\pi }{6} + m2\pi + \frac{\pi }{6} - n2\pi } \right| = \left| {\frac{\pi }{3} + \left( {m - n} \right)2\pi } \right|\\\Rightarrow \frac{\pi }{3} + \left( {m - n} \right)2\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} + 2\left( {m - n} \right) < \frac{1}{2} \Leftrightarrow m - n < \frac{1}{{12}}
\end{array}\)

Chọn \(m - n = 0 \Leftrightarrow CD = \frac{\pi }{3} \Rightarrow AB = \frac{{2\pi }}{3}\).

TH2 : Phương trình CD \(y = -\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) : Tọa độ của C, D là nghiệm của phương trình

\(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{5\pi }}{6} + m'2\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + n'2\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {m',n' \in Z} \right)\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow CD = \left| {{x_C} - {x_D}} \right| = \left| {\frac{{3\pi }}{2} + \left( {m' - n'} \right)2\pi } \right|\\Khi\,\,m' - n' = 0 \Rightarrow CD = \frac{{3\pi }}{2} > \frac{\pi }{2}\,\,\left( {ktm} \right)\\Khi\,\,m' - n' = - 1 \Rightarrow CD = \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

Vậy \(AB = \frac{{2\pi }}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.