Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\) và \(f\left( 0

Câu hỏi số 302048:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\) và \(f\left( 0 \right) = 1.\) Tính \(f\left( 2 \right).\)

A. \(f\left( 2 \right) = 4{e^2} + 1\)

B. \(f\left( 2 \right) = 2{e^2} + 1\)

C. \(f\left( 2 \right) = 3{e^2} + 1\)

D. \(f\left( 2 \right) = {e^2} + 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302048

Phương pháp giải

+) Áp dụng tính chất: \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C.\)

+) Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản để tìm hàm \(f\left( x \right)\) sau đó tính \(f\left( 2 \right).\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = \int {x{e^x}dx} + \int {{e^x}dx} = {e^x} + \int {x{e^x}dx} \)

Tính: \(I = \int {x{e^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^x} + x{e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\end{array}\)

Lại có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 0.{e^0} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = x{e^x} + 1 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2.{e^2} + 1 = 2{e^2} + 1.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.