Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A’ lên (ABCD) là trọng tâm

Câu hỏi số 302664:

Vận dụng

Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A’ lên (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết \(AB = a,\,\widehat {ABC} = 120^\circ ,\,AA' = a\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

D. \({a^3}\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302664

Phương pháp giải

Thể tích khối lăng trụ : \(V = Sh\).

Diện tích tam giác đều có các cạnh bằng a là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Giải chi tiết

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại A. Mà \(\widehat {ABD} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABD\) đều

Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = {S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD \( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{AB.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}\)

Tam giac A’AG vuông tại G \( \Rightarrow A'G = \sqrt {AA{'^2} - A{G^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABCD}}.A'G = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.