Khai triển và rút gọn biểu thức \(1 - x + 2{(1 - x)^2} + \,...\, + n{(1 - x)^n}\) thu được đa thức

Câu hỏi số 303223:

Vận dụng

Khai triển và rút gọn biểu thức \(1 - x + 2{(1 - x)^2} + \,...\, + n{(1 - x)^n}\) thu được đa thức \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + \,...\, + {a_n}{x^n}\). Tính hệ số \({a_8}\) biết rằng \(n\) là số nguyên dương thoả mãn: \(\frac{1}{{C_n^2}} + \frac{7}{{C_n^3}} = \frac{1}{n}\).

A. 89

B. -73

C. 17

D. 90

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303223

Phương pháp giải

+) Từ hệ thức \(\frac{1}{{C_n^2}} + \frac{7}{{C_n^3}} = \frac{1}{n}\), xác định \(n.\)

+) Dựa theo công thức khai triển xác định hệ số.

Giải chi tiết

Ta có: \(\frac{1}{{C_n^2}} + \frac{7}{{C_n^3}} = \frac{1}{n} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{1}{{\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}}} + \frac{7}{{\frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}}} = \frac{1}{n}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{2}{{n(n - 1)}} + \frac{{7.3!}}{{n(n - 1)(n - 2)}} = \frac{1}{n}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\2\left( {n - 2} \right) + 42 = \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n + 2 = 2n + 38\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 5n - 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}n = - 4\\n = 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9.\)

\( \Rightarrow P = 1 - x + 2{\left( {1 - x} \right)^2} + ...... + 9{\left( {1 - x} \right)^9} = {a_0} + {a_1} + ...... + {a_9}{x^9}\)

Suy ra \({a_8}\) là hệ số của \({x^8}\) trong biểu thức \(8{(1 - x)^8} + 9{(1 - x)^9}.\)

\(8{(1 - x)^8} + 9{(1 - x)^9} = 8\sum\limits_{k = 0}^8 {\left[ {C_8^k{{\left( { - 1} \right)}^{8 - k}}{x^{8 - k}}} \right]} + 9\sum\limits_{n = 0}^9 {\left[ {C_9^n{{\left( { - 1} \right)}^{9 - n}}{x^{9 - n}}} \right]} \)

\( \Rightarrow \) Số hạng chứa \({x^8}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}k = 0\\n = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ số \({a_8} = 8C_8^0 + 9C_9^1{\left( { - 1} \right)^{9 - 1}} = 89\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.