Với \(n\) là số nguyên dương, gọi \({a_{3n - 3}}\)là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển

Câu hỏi số 303233:

Vận dụng cao

Với \(n\) là số nguyên dương, gọi \({a_{3n - 3}}\)là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{\rm{ }}{x^2} + 1{\rm{ }}} \right)^n}{\left( {{\rm{ }}x + 2{\rm{ }}} \right)^n}\) . Tìm \(n\) để \({a_{3n - 3}} = 26n.\)

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303233

Phương pháp giải

+) Khai triển từng nhị thức: \({\left( {{\rm{ }}{x^2} + 1{\rm{ }}} \right)^n}{\left( {{\rm{ }}x + 2{\rm{ }}} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{2^i}C_n^i{x^{n - i}}} } \right)\)

+) Xác định \(k,\,i\) sao cho \(2k + \left( {n - i} \right) = 3n - 3\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{\rm{ }}{x^2} + 1{\rm{ }}} \right)^n}{\left( {{\rm{ }}x + 2{\rm{ }}} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{2^i}C_n^i{x^{n - i}}} } \right)\)

Số hạng chứa \({x^{3n - 3}}\) thì: \(2k + \left( {n - i} \right) = 3n - 3 \Leftrightarrow 2k = 2n + i - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = n;\,\,i = 3\\k = n - 1;\,\,i = 1\end{array} \right.\)

Hệ số là: \(C_n^nC_n^3 + C_n^{n - 1}C_n^1 = 26n \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + {n^2} = 26n \Leftrightarrow {n^2} + 3n - 154 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = - 14\end{array} \right.\)

Vậy \(n = 11\) thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.