Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}}

Câu hỏi số 303232:

Vận dụng cao

Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {{x^2}} \right)}^{n - k}}{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^k}} \) bằng \(49\) . Khi đó tính hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển đó?

A. 145

B. -160

C. 150

D. -144

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303232

Phương pháp giải

+) Xác định \(n\) theo tổng ba hệ số đầu tiên.

Ta có : \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {{x^2}} \right)}^{n - k}}{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{2^k}{x^{2n - 3k}}} \)

Tổng ba hệ số đầu tiên: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49\) .

+) Xác định \(k\) ứng với \({x^3}\).

Giải chi tiết

Tổng ba hệ số đầu tiên: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49\) . Điều kiện: \(n \ge 2.\)

Ta có: \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 = 49 \Leftrightarrow 1 - 2n + {2^2}\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 49 \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 4\;\;\left( {ktm} \right)\,\,\,\,\,\\n = 6\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Số hạng tổng quát: \(C_6^k{\left( { - 1} \right)^k}{2^k}{x^{12 - 3k}}\)\(\left( {k \in \mathbb{N};k \le 6} \right)\)

Để có số hạng chứa \({x^3}\) : \(12 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 3\).

Hệ số của \({x^3}\) là: \(C_6^3{\left( { - 1} \right)^3}{2^3} = - 160.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.