Cho các số thực a,b thay đổi, thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{3},\,\,b > 1\). Khi biểu thức \(P = {\log

Câu hỏi số 303742:

Vận dụng cao

Cho các số thực a,b thay đổi, thỏa mãn \(a > \dfrac{1}{3},\,\,b > 1\). Khi biểu thức \(P = {\log _{3a}}b + {\log _b}\left( {{a^4} - 9{a^2} + 81} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(a + b\) bằng:

A. \(3 + {9^{\sqrt 2 }}\)

B. \(9 + {2^{\sqrt 3 }}\)

C. \(2 + 9\sqrt 2 \)

D. \(3 + \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303742

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{a^2} - 9} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^4} - 18{a^2} + 81 \ge 0 \Leftrightarrow {a^4} - 9{a^2} + 81 \ge 9{a^2}\)

\( \Rightarrow P \ge {\log _{3a}}b + {\log _b}9{a^2} = {\log _{3a}}b + 2{\log _b}3a\mathop \ge \limits^{Co - si} 2\sqrt {{{\log }_{3a}}b.2{{\log }_b}3a} = 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{\log _{3a}}b = 2{\log _b}3a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\,\,\left( {Do\,\,a > 0} \right)\\{\log _9}b = 2{\log _b}9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\{\log _9}b = \dfrac{2}{{{{\log }_9}b}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\{\log _9}b = \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = {9^{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy \(a + b = 3 + {9^{\sqrt 2 }}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.