1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để \({n^2} + 2018\) là số chính phương. 2)

Câu hỏi số 304188:

Vận dụng

1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

2) Mười đội bóng chuyền tham gia giải bóng chuyền VTV cup 2018. Cứ hai đội trong giải đấu đó thi đấu với nhau đúng một trận. Đội thứ nhất thắng \({x_1}\) trận và thua \({y_1}\) trận, đội thứ hai thắng \({x_2}\) trận và thua \({y_2}\) trận,….; đội thứ 10 thắng \({x_{10}}\) trận và thua \({y_{10}}\) trận. Biết rằng trong một trận đấu bóng chuyền không có trận hòa.

Chứng minh rằng: \({x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{10}}^2 = {y_1}^2 + {y_2}^2 + \ldots + {y_{10}}^2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304188

Phương pháp giải

1) Giả sử tồn tại 1 số n thỏa mãn bài toán, ta lập hiệu và dựa vào tính chất chia hết để chứng minh.

2) Chú ý xét hiệu 2 biểu thức để chứng minh nó bằng 0.

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

Giả sử tồn tại \(n \in N\) để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

Như vậy ta có: \({n^2} + 2018 = {m^2} \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {m + n} \right) = 2018\)

Vì \(2018\; \vdots \;2 \Rightarrow \left( {m + n} \right)\left( {m - n} \right)\; \vdots \;2 \Rightarrow \;\;\left[ \begin{array}{l}\left( {m + n} \right)\; \vdots \;2\\\left( {m - n} \right)\; \vdots \;2\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + n} \right)\; \vdots \;2\\\left( {m - n} \right)\; \vdots \;2\end{array} \right.\end{array} \right.\;\;\)

Mà \(m + n - (m - n) = 2n\; \vdots \;2\)

\( \Rightarrow \left( {m + n} \right),\;\;\left( {m - n} \right)\) cùng là các số chẵn hoặc cùng là các số lẻ.

\( \Rightarrow \left( {m - n} \right)\) và \(\left( {m + n} \right)\) phải cùng chia hết cho \(2.\)

Do đó: \((m + n)(m - n) \vdots 4\) nhưng 2018 lại không chia hết cho 4.

Vậy không tồn tại số \(n \in N\) để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

Chứng minh rằng: \({x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{10}}^2 = {y_1}^2 + {y_2}^2 + \ldots + {y_{10}}^2\)

Từ bài toán ta thấy mỗi đội bóng chuyền thi đấu đúng 9 trận hay là : \({x_1} + {y_1} = {x_2} + {y_2} = ... = {x_{10}} + {y_{10}} = 9.\)

Do cứ 2 đội trong giải đấu thi đấu với nhau thì chỉ thắng hoặc thua nghĩa là: \({x_1} + {x_2} + ... + {x_{10}} = {y_1} + {y_2} + ... + {y_{10}}.\)

Ta xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_{10}}^2 - \left( {{y_1}^2 + {y_2}^2 + ... + {y_{10}}^2} \right)\\ = \left( {{x_1} - {y_1}} \right)\left( {{x_1} + {y_1}} \right) + \left( {{x_2} - {y_2}} \right)\left( {{x_2} + {y_2}} \right) + ... + \left( {{x_{10}} - {y_{10}}} \right)\left( {{x_{10}} + {y_{10}}} \right)\\ = 9\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{10}} - {y_1} - {y_2} - ... - {y_{10}}} \right) = 0.\end{array}\)

Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{10}}^2 = {y_1}^2 + {y_2}^2 + \ldots + {y_{10}}^2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link