Giả sử \(m = - \frac{a}{b},{\rm{ }}a,b \in {\mathbb{Z}^ + },\left( {a,b} \right) = 1\) là giá trị thực

Câu hỏi số 305943:

Vận dụng

Giả sử \(m = - \frac{a}{b},{\rm{ }}a,b \in {\mathbb{Z}^ + },\left( {a,b} \right) = 1\) là giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:\,y\, = \, - 3x\, + \,m\) cắt đồ thị hàm số \(y\, = \,\frac{{2x\, + \,1}}{{x\, - \,1}}\) \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho trọng tâm tam giác \(OAB\) thuộc đường thẳng \(\Delta \,:\,x\, - \,2y\, - \,2\, = \,0\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tính \(a + 2b.\)

A. \(2\)

B. \(5\)

C. \(11\)

D. \(21\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305943

Phương pháp giải

Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm giao điểm của hai đồ thị.

Dựa vào công thức trọng tâm, xác định m.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \, - 3x\, + \,m,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = - 3{x^2} + \left( {m + 3} \right)x - m \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,(*)\end{array}\)

Để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{3.1^2} - \left( {m + 1} \right).1 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 11} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 11\end{array} \right.\)

Giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (*) \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{m + 1}}{3}\)

Tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), do \(A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = - 3{x_1} + m\\{y_2} = - 3{x_2} + m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {y_1} + {y_2} = - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m = - 3.\frac{{m + 1}}{3} + 2m = m - 1\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB: \(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 0}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2} + 0}}{3}} \right)\) hay \(G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m - 1}}{3}} \right)\)

Do \(G \in \Delta \,:\,x\, - \,2y\, - \,2\, = \,0 \Rightarrow \frac{{m + 1}}{9} - 2.\frac{{m - 1}}{3} - 2 = 0 \Leftrightarrow m + 1 - 6m + 6 - 18 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{{11}}{5}\)

\( \Rightarrow a = 11;\,\,b = 5 \Rightarrow a + 2b = 21\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.