Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân \(\left( {AD//BC} \right),\,BC = 2a,\,AB = AD = DC =
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân \(\left( {AD//BC} \right),\,BC = 2a,\,AB = AD = DC = a\) với \(a > 0\) . Mặt bên \(SBC\) là tam giác đều. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) . Biết \(SD\) vuông góc \(AC.\,M\) là một điểm thuộc đoạn \(OD;\,MD = x\) với \(x > 0\) ; \(M\) khác \(O\) và \(D.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và song song với hai đường thẳng \(SD\) và \(AC\) cắt khối chóp \(S.ABCD\) theo một thiết diện. Tìm \(x\) để diện tích thiết diện là lớn nhất?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Chứng minh \(SD \bot \left( {ABCD} \right)\).
+) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), chia thiết diện thành 1 hình chữ nhật và một tam giác để tính diện tích.
Gọi H là trung điểm của BC ta có \(SH \bot BC\).
Ta dễ dàng chứng minh được ADCH là hình thoi \( \Rightarrow HD \bot AC\).
Lại có \(SD \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow AC \bot SH\)
\(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BC\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(PQ//AC\,\,\left( {P \in AD;Q \in CD} \right)\), trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MT//SD\,\,\left( {T \in SA} \right)\), trong \(\left( {SCD} \right)\) kẻ \(QR//SD\,\,\left( {R \in SC} \right)\), trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(PU//SD\,\,\left( {U \in SA} \right)\).
Khi đó \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {PQRTU} \right)\)
Ta có \(PQ//UR//AC;\,\,UP//QR//SD \Rightarrow \) Tứ giác PQRU là hình bình hành.
Lại có \(SD \bot AC \Rightarrow PQ \bot PU \Rightarrow PQRU\) là hình chữ nhật.
Ta có \(HA = HB = HC = HD \Rightarrow SA = SB = SC = SD\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
Do ABCD là hình thang cân \( \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại D
\( \Rightarrow BD = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 = AC\).
Xét tam giác vuông ABC có: \(\sin \angle ACB = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle ACDB = {30^0} = \angle ADB = \angle CAD\).
\( \Rightarrow \angle AOD = {120^0}\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAD ta có:
\(\begin{array}{l}A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} - 2OA.OD.\cos \angle AOD\\ \Rightarrow {a^2} = 2O{A^2} - 2O{A^2}.\frac{{ - 1}}{2} = 3O{A^2} \Rightarrow OA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = OD\end{array}\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{MD}}{{OD}} = \frac{{PQ}}{{AC}} \Rightarrow \frac{x}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{PQ}}{{a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow PQ = \frac{{xa\sqrt 3 }}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = 3x\).
Tam giác SBC đều cạnh 2a \( \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \Rightarrow SD = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{UP}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{OM}}{{OD}} \Rightarrow \frac{{UP}}{{2a}} = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 3 }} - x}}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} \Rightarrow UP = \frac{{2a\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }} - x} \right)}}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = 2\left( {a - x\sqrt 3 } \right)\).
\( \Rightarrow {S_{PQRU}} = PQ.UP = 3x.2\left( {a - x\sqrt 3 } \right) = 6x\left( {a - x\sqrt 3 } \right)\)
Ta có \(\frac{{MT}}{{SD}} = \frac{{BM}}{{BD}} = 1 - \frac{{MD}}{{BD}} = 1 - \frac{x}{{a\sqrt 3 }} \Rightarrow MT = \left( {1 - \frac{x}{{a\sqrt 3 }}} \right).2a = 2\left( {a - \frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
\( \Rightarrow TE = TM - ME = \left( {1 - \frac{x}{{a\sqrt 3 }}} \right).2a - 2\left( {a - x\sqrt 3 } \right) = 2\left( {a - \frac{x}{{\sqrt 3 }} - a + x\sqrt 3 } \right) = \frac{{4x\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow {S_{TUR}} = \frac{1}{2}SE.UR = \frac{1}{2}.\frac{{4x\sqrt 3 }}{3}.3x = 2{x^2}\sqrt 3 \)
Vậy \({S_{PQRTU}} = {S_{PQUR}} + {S_{TUR}} = 6x\left( {a - x\sqrt 3 } \right) + 2{x^2}\sqrt 3 = 6ax - 4{x^2}\sqrt 3 \)
\({S_{PQRTU\,\,\max }} \Leftrightarrow x = \frac{{6a}}{{2.4\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\) .
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
