Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông

Câu hỏi số 307557:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD là

A. \(a\)

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307557

Phương pháp giải

Ta có: \(d\left( {BC;\;SD} \right) = d\left( {BC;\;\;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\;\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right)\) với \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Từ đó ta quy về tính \(d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right).\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\Delta SAB\) đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(\Delta SAB\)đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Có: \(BC//AD \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {BC;\;SD} \right) = d\left( {BC;\;\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B;\;\left( {SAD} \right)} \right)\)

Lại có: \(\frac{{BA}}{{HA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {B;\;\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right).\)

Kẻ \(HK \bot SA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow SD \bot \left( {SBA} \right) \Rightarrow SD \bot HK\\ \Rightarrow HK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\;\left( {SAD} \right)} \right) = HK.\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SHA\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HK:\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HK = \frac{{SH.HA}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\\ \Rightarrow d\left( {BC;\;SD} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.