Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = a.\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = a.\) Biết góc giữa hai đường thẳng \(AC'\) và \(BA'\) bằng \({60^0}\) . Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+) Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(A'B'DC'\). Chứng minh \(\angle \left( {AC';BA'} \right) = d\left( {BD;BA'} \right) = {60^0}\).
+) Đặt \(BB' = x\), tính các cạnh \(A'B,\,\,B'D,\,\,BD\) theo \(x\).
+) Xét 2 TH \(\left[ \begin{array}{l}\angle A'BD = {60^0}\\\angle A'BD = {120^0}\end{array} \right.\). Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(A'BD\) tìm \(x\), từ đó tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).
Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(A'B'DC'\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' = A'C'\\\angle B'A'C' = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow A'B'DC'\) là hình vuông.
\( \Rightarrow AC'//BD \Rightarrow \angle \left( {AC';BA'} \right) = d\left( {BD;BA'} \right) = {60^0}\) và \(B'D = a\).
Gọi \(O = A'D \cap B'C' \Rightarrow O\) là trung điểm của \(A'D\).
\(\Delta A'B'C'\) vuông cân tại \(A' \Rightarrow A'O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow A'D = a\sqrt 2 \).
Đặt \(BB' = x \Rightarrow A'B = \sqrt {{x^2} + {a^2}} ;\,\,BD = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \).
TH1: \(\angle A'BD = {60^0}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(A'BD\) ta có:
\(\begin{array}{l}A'{D^2} = A'{B^2} + B{D^2} - 2A'B.BD.\cos {60^0}\\ \Rightarrow 2{a^2} = 2{x^2} + 2{a^2} - 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = {x^2} + {a^2} \Leftrightarrow {x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = a\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{2}\)
TH1: \(\angle A'BD = {120^0}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(A'BD\) ta có:
\(\begin{array}{l}A'{D^2} = A'{B^2} + B{D^2} - 2A'B.BD.\cos {120^0}\\ \Rightarrow 2{a^2} = 2{x^2} + 2{a^2} + 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right)\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 0 = 3{x^2} + 2{a^2} \Leftrightarrow x = a = 0\,\,\left( {vo\,\,li} \right)\end{array}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
