Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y\\{2^x} + 1 = \left( {{m^2} + 2}

Câu hỏi số 310134:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y\\{2^x} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\), \(m\) là tham số. Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên để hệ \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310134

Phương pháp giải

+ Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ để đưa về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) mà \(f\) là hàm đơn điệu nên suy ra

\(u = v.\) Từ đó ta tìm được mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\).

+ Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình ẩn \(y.\) Lập luận phương trình này có nghiệm duy nhất

thì hệ ban đầu sẽ có nghiệm duy nhất.

+ Biến đổi để chỉ ra nếu \({y_0}\) là nghiệm thì \( - {y_0}\) cùng là nghiệm của phương trình ẩn \(y\), từ đó suy ra \({y_0} = 0.\)

Thay vào phương trình để tìm \(m.\)

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để thử lại \(m.\)

Giải chi tiết

ĐK : \(1 - {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow y \in \left[ { - 1;1} \right]\)

+ Xét phương trình \({2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y \Leftrightarrow {2^{x - y}} + x - y = {2^y} + y\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0;\,\forall t\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Từ đó \({2^{x - y}} + x - y = {2^y} + y\)\( \Rightarrow f\left( {x - y} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x - y = y \Leftrightarrow x = 2y\)

+ Thay \(x = 2y\) vào phương trình \({2^x} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \) ta được

\({2^{2y}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \Leftrightarrow {4^y} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \) (*)

Để hệ phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(y \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Giả sử \({y_0} \in \left[ { - 1;1} \right]\) là một nghiệm của phương trình (*) thì ta có \({4^{{y_0}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{{y_0}}}.\sqrt {1 - {y_0}^2} \) (**)

Xét với \( - {y_0}\) ta có \({4^{ - {y_0}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{ - {y_0}}}.\sqrt {1 - {{\left( { - {y_0}} \right)}^2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{4^{{y_0}}}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right)\dfrac{1}{{{2^{{y_0}}}}}\sqrt {1 - y_0^2} \)

\( \Leftrightarrow 1 + {4^{{y_0}}} = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{{y_0}}}.\sqrt {1 - {y_0}^2} \) (đúng do (**)) hay \( - {y_0}\) cũng là nghiệm của phương trình (*).

Do vậy để (*) có nghiệm duy nhất thì \({y_0} = - {y_0} \Leftrightarrow {y_0} = 0\). Thay \(y = 0\) vào (*) ta được \({4^0} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^0}\sqrt {1 - {0^2}} \Leftrightarrow {m^2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0.\)

Thử lại : Thay \(m = 0\) vào (*) ta được \({4^y} + 1 = {2.2^y}\sqrt {1 - {y^2}} \Leftrightarrow {2^y} + \dfrac{1}{{{2^y}}} = 2\sqrt {1 - {y^2}} \,(***)\)

Nhận thấy rằng VT(***)\( = {2^y} + \dfrac{1}{{{2^y}}}\mathop \ge \limits^{C\^o - si} 2\sqrt {{2^y}.\dfrac{1}{{{2^y}}}} \Leftrightarrow VT\left( {***} \right) \ge 2\) , dấu xảy ra \( \Leftrightarrow {2^y} = \dfrac{1}{{{2^y}}} \Leftrightarrow y = 0\)

Và \(VP\left( {***} \right) = 2\sqrt {1 - {y^2}} \le 2 \Leftrightarrow VP\left( {***} \right) = 2 \Leftrightarrow y = 0\)

Vậy phương trình (***) có nghiệm duy nhất \(y = 0\).

Kết luận : Với \(m = 0\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên tập S có một phần tử.

Chọn B.

Chú ý khi giải

Các em có thể làm bước thử lại như sau :

Thay \(m = 0\) vào (*) ta được

\({4^y} + 1 = {2.2^y}\sqrt {1 - {y^2}} \Leftrightarrow {\left( {{2^y}} \right)^2} - {2.2^y}\sqrt {1 - {y^2}} + 1 - {y^2} + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^y} - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)^2} + {y^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^y} - \sqrt {1 - {y^2}} = 0\\{y^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^0} - \sqrt {1 - 0} = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 0.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.