Cho \(x,y\) là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P =

Câu hỏi số 310411:

Vận dụng

Cho \(x,y\) là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)

A. \(\min P = 5\).

B. \(\min P = \frac{{115}}{3}\).

C. \(\min P = \frac{7}{3}\).

D. \(\min P = \frac{{17}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310411

Phương pháp giải

Đưa biểu thức \(P\) về hàm số 1 ẩn \(x.\)

Khảo sát, tìm GTNN của hàm số đó.

Giải chi tiết

\(x,\,y\) là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x,\,\,\left( {0 \le x \le 2} \right)\)

Khi đó: \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1 = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - x + 1 = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5,\,\,x \in \left[ {0;2} \right]\) có: \(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5\, \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\x = - 5\,\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), có \(f\left( 0 \right) = 5,\,f\left( 1 \right) = \frac{7}{3},\,f\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{3}\)

\( \Rightarrow \min P = \frac{7}{3}\).

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.