Cho \(a,b,c > 1\). Biết rằng biểu thức \(P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) +

Câu hỏi số 310410:

Vận dụng

Cho \(a,b,c > 1\). Biết rằng biểu thức \(P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) + 4{\log _c}\left( {ab} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m\) khi \({\log _b}c = n\). Tính giá trị \(m + n\).

A. \(m + n = 14\).

B. \(m + n = \frac{{25}}{2}\).

C. \(m + n = 12\).

D. \(m + n = 10\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310410

Phương pháp giải

\({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}},\,\,\left( {a,b > 0;\,\,a,b \ne 1} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Giải chi tiết

Do \(a,\;b,\;c > 1\) nên \({\log _a}b,\,\,{\log _c}a,\,\,{\log _b}c > 0\)

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) + 4{\log _c}\left( {ab} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _c}b\\ = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right)\\ = \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a} + 2\sqrt {{{\log }_b}c.\frac{4}{{{{\log }_b}c}}} = 2 + 4 + 4 = 10.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\\\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{\log _c}a\\{\log _b}c = \frac{4}{{{{\log }_c}b}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _c}a = \frac{1}{2}\\{\log _b}c = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(10\) khi \({\log _b}c = 2\,\, \Rightarrow m = 10,\,\,n = 2 \Rightarrow m + n = 12\)

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.