Cho đa thức \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\left(

Câu hỏi số 310828:

Vận dụng

Cho đa thức \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\left( {n \in {{\rm N}^*}} \right).\) Tìm hệ số \({a_3}\) biết rằng \({a_1} + 2{a_2} + ... + n{a_n} = 49152n.\)

A. \({a_3} = 945\)

B. \({a_3} = 252\)

C. \({a_3} = 5670\)

D. \({a_3} = 1512\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310828

Phương pháp giải

Đạo hàm hàm số \(f\left( x \right)\) và chọn giá trị \(x\) phù hợp để tính giá trị biểu thức đề bài cho.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {3x} \right)}^k}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ..... + {a_n}{x^n}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2}x + .... + n{a_n}{x^{n - 1}}.\)

Chọn \(x = 1\) ta có: \(f'\left( 1 \right) = 3n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2} + .... + n{a_n} = 49152n\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3n{.4^{n - 1}} = 49152n \Leftrightarrow {4^{n - 1}} = 16384\\ \Leftrightarrow {4^n} = 65536 \Leftrightarrow n = 8\;\;\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow {a_3} = C_8^3{.3^3} = 1512.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.