Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A,\) biết \(AB = a;SA = SB = a\) và mặt

Câu hỏi số 312038:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A,\) biết \(AB = a;SA = SB = a\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(SC\) biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng \(a.\)

A. \(SC = a\sqrt 3 \)

B. \(SC = a\sqrt 2 \)

C. \(SC = a\)

D. \(SC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312038

Phương pháp giải

+ Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\). Ta chứng minh \(AH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AH\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\)

+ Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là giao của \(AH\) và đường trung trực cạnh \(AB.\)

+ Chỉ ra tam giác \(SBC\) vuông tại \(S\) từ đó tính \(SC\) theo định lý Pytago.

Giải chi tiết

Lấy \(H\) là trung điểm \(BC\) suy ra \(AH \bot BC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\end{array} \right.\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H.\)

Từ đề bài ta có \(AS = AB = AC\) nên \(A\) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC\) , lại có \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H\) nên \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SBC \Rightarrow HB = HS = HC\) hay \(HS = \frac{1}{2}BC\) nên tam giác \(SBC\) vuông tại \(S.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,\) kẻ đường trung trực của \(AB\) cắt \(AH\) tại \(O.\)

Khi đó ta có \(OA = OB = OC = OS\) hay \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC \Rightarrow OA = R = a.\)

+ Ta có \(\Delta OMA\) đồng dạng với \(\Delta BHA\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{MA}}{{HA}} \Leftrightarrow \frac{a}{a} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{HA}} \Rightarrow HA = \frac{a}{2}\) .

+ Xét tam giác vuông \(AHC\) có \(HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2HC = a\sqrt 3 \)

+ Xét tam giác \(SBC\) vuông tại \(S\left( {cmt} \right)\) có \(SC = \sqrt {B{C^2} - S{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 .\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.