Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} =

Câu hỏi số 312053:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}\) .

A. \(\max P = 1\)

B. \(\max P = 4\)

C. \(\max P = 2\)

D. \(\max P = 3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312053

Phương pháp giải

- Biến đổi điều kiện bài cho về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(u,v\) là các biểu thức của \(x,y\)

- Xét hàm \(y = f\left( t \right)\) suy ra mối quan hệ của \(u,v\) rồi suy ra \(x,y\)

- Đánh giá \(P\) theo biến \(t = x + y\) bằng cách sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết

Điều kiện : \(\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} > 0.\)

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy - 3\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) + 2 = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t,\,\,t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến và liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó: \(f\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 2\)

Ta có: \(x = x + xy - xy = x\left( {y + 1} \right) - xy \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - xy\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y + 1\).

Do đó từ \(\left( 1 \right)\), suy ra: \(x \le \frac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{4} - {\left( {x + y} \right)^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2\).

Đặt \(t = x + y,\,\,t > 0\)

Suy ra: \(P = \frac{{2\left( {x + y} \right) + 1 + x}}{{x + y + 6}} \le \frac{{2t + 1 + \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} - {t^2} + 3t - 2}}{{t + 6}} = \frac{{ - 3{t^2} + 22t - 3}}{{4\left( {t + 6} \right)}} = f\left( t \right)\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 3{t^2} - 36t + 135}}{{4{{\left( {t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\) (tm)

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta có \(\max P = \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\)

Chú ý khi giải

Cách 2: (Trắc nghiệm)

Ta có: \(P = 2 + \frac{{x - 11}}{{x + y + 6}}\).

Trong \(\left( 1 \right)\) coi \(y\) là ẩn, \(x\) là tham số. Ta có \({y^2} + \left( {x - 3} \right)y + {x^2} - 3x + 2 = 0\) có nghiệm khi

\(\Delta = {\left( {x - 3} \right)^2} - 4\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - 2\sqrt 3 }}{3} \le x \le \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3} < 3 \Rightarrow x - 11 < 0.\)

Vậy \(P < 2\) nên trong \(4\) phương án thì \({P_{\max }} = 1\) khi đó \(x = 2,\,\,y = 1.\)

Cách 3: (Trắc nghiệm)

Ta có: \(P = 3 - \frac{{y + 17}}{{x + y + 6}} < 3\) với \(x\), \(y > 0.\)

+ Nếu \(P = 2\) thì \(\frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}} = 2 \Leftrightarrow x = 11\). Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({y^2} + 3y + 90 = 0\) (vô lý).

+ Nếu \(P = 1\) thì \(\frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}} = 1 \Leftrightarrow 2x + y = 5 \Leftrightarrow y = 5 - 2x\). Thay vào \(\left( 1 \right)\), ta được:

\(3\left( {x + 5 - 2x} \right) = {x^2} + {\left( {5 - 2x} \right)^2} + x\left( {5 - 2x} \right) + 2 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1\).

Vậy \({P_{\max }} = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.