Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 312462:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(3f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = {x^{2018}}\), với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{{2018.2021}}\).

B. \(I = \dfrac{1}{{2019.2020}}\).

C. \(I = \dfrac{1}{{2019.2021}}\).

D. \(I = \dfrac{1}{{2018.2019}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312462

Phương pháp giải

\({\left( {{x^k}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^k}.f'\left( x \right) + k{x^{k - 1}}.f\left( x \right),\,\,k \in \mathbb{N}.\) Chọn \(k = 3\), ta có: \({\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^3}.f'\left( x \right) + 3{x^2}.f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(3f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = {x^{2018}}\, \Rightarrow {x^3}.f'\left( x \right) + 3{x^2}.f\left( x \right) = {x^{2020}} \Leftrightarrow {\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^{2020}}\)

\( \Rightarrow \int {{{\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)}^\prime }dx} = \int {{x^{2020}}} dx \Leftrightarrow {x^3}.f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2021}}}}{{2021}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}} + \dfrac{C}{{{x^3}}}\)

Do \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}}\)

\(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}}dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^{2019}}}}{{2019.2021}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{2019.2021}}\).

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.