1) Tìm cặp số nguyên tố \(x,y\) thỏa mãn: \({x^2} - 2{y^2} = 1.\) 2) Chứng minh rằng nếu hiệu các

Câu hỏi số 315038:

Vận dụng

1) Tìm cặp số nguyên tố \(x,y\) thỏa mãn: \({x^2} - 2{y^2} = 1.\)

2) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên \(n\) thì \(n\) là tổng 2 số chính phương liên tiếp.

A. \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;2} \right).\)

B. \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;3} \right).\)

C. \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

D. \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;1} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315038

Phương pháp giải

a) Xét số dư của 1 số chính phương cho 3 để chứng minh 1 trong 2 số phải bằng 3.

b) Sử dụng biến đổi thông qua hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

a) Tìm cặp số nguyên tố x, y thỏa mãn: \({x^2} - 2{y^2} = 1.\)

Ta có 1 số chính phương khi chia cho 3 sẽ nhận được các số dư là 0 hoặc 1 nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{(3k)^2} = 9{k^2}\\{(3k + 1)^2} = 9{k^2} + 6k + 1 \equiv 1\;\;\left( {\bmod 3} \right)\\{(3k + 2)^2} = 9{k^2} + 12k + 4 \equiv 1\;\;\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

Nếu \(x,\;y > 3\) thì \(x,\;y\) không chia hết cho 3 do đó số dư của VT cho 3 là \(1 - 2.1 = - 1\) chia 3 dư 2 vô lý do \({x^2} - 2{y^2} = 1.\)

\( \Rightarrow \) trong hai số \(x,\;y\) phải có một số bằng \(3.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow 9 - 2{y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow y = 2\;\;\left( {y > 0} \right)\\y = 3 \Rightarrow {x^2} - 2.9 = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 19 \Rightarrow x \in \emptyset \end{array} \right..\)

Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn bài toán là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;2} \right).\)

b) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là \(a,\;\;a + 1\;\;\left( {a \in Z} \right),\) theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^3} - {a^3} = {n^2} \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 - {a^3} = {n^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} + 3a + 1 = {n^2}\;\;\left( * \right)\end{array}\)

+) Xét TH : \( - 1 \le a \le 0\) ta có : \(\left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow n = 1 = {0^2} + {1^2} \Rightarrow a = 0\;\;\left( {tm} \right)\\a = - 1 \Rightarrow n = 1 = {0^2} + {1^2} \Rightarrow a = - 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

+) Xét TH : \(\left[ \begin{array}{l}a > 0\\a < - 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {2a} \right)^2} < 3{a^2} + 3a + 1 < {\left( {2a + 1} \right)^2}\)

Vậy ta có \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link